1. **Énoncé du problème** : Montrer que $$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}} = 9.$$\n\n2. **Simplification d'un terme général** : Considérons un terme générique de la somme : $$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}.$$\nPour simplifier, on multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ (la conjugée) : $$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} \times \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}.$$\n\n3. **Calcul du dénominateur** : $$ (\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) = (\sqrt{n+1})^2 - (\sqrt{n})^2 = (n+1) - n = 1.$$\n\n4. **Termes simplifiés** : Ainsi, un terme générique vaut $$ \sqrt{n+1} - \sqrt{n}.$$\n\n5. **Somme telescopique** : La somme à calculer est donc $$ \sum_{n=1}^{99} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \cdots + (\sqrt{100} - \sqrt{99}).$$\n\n6. **Annulation des termes intermédiaires** : Tous les termes au milieu s'annulent, on obtient $$ = \sqrt{100} - \sqrt{1} = 10 - 1 = 9.$$\n\n7. **Vérification de la seconde égalité** : Montrer que $$ (1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})^2 = 1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}.$$\n\n8. **Développement du membre de gauche** : $$ \left(1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)^2 = 1 + 2\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)^2.$$\n\n9. **Calcul de chaque terme** : $$ 2\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 2\left(\frac{n+1 - n}{n(n+1)}\right) = \frac{2}{n(n+1)}.$$\n$$ \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)^2 = \left(\frac{1}{n(n+1)}\right)^2 = \frac{1}{n^2 (n+1)^2}.$$\n\n10. **Addition des termes** : $$ 1 + \frac{2}{n(n+1)} + \frac{1}{n^2 (n+1)^2} = 1 + \frac{2}{n(n+1)} + \frac{1}{n^2 (n+1)^2}.$$\n\n11. **Réecriture du membre de droite** : $$ 1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} = 1 + \frac{(n+1)^2 + n^2}{n^2 (n+1)^2}.$$\n\n12. **Calcul du numérateur** : $$ (n+1)^2 + n^2 = (n^2 + 2n +1) + n^2 = 2n^2 + 2n +1.$$\n\n13. **Remise en forme du membre de gauche** : $$ 1 + \frac{2}{n(n+1)} + \frac{1}{n^2 (n+1)^2} = \frac{n^2 (n+1)^2}{n^2 (n+1)^2} + \frac{2n(n+1)}{n^2 (n+1)^2} + \frac{1}{n^2 (n+1)^2} = \frac{n^2 (n+1)^2 + 2n (n+1) + 1}{n^2 (n+1)^2}.$$\n\n14. **Développement du numérateur** : $$ n^2 (n+1)^2 + 2n(n+1) + 1 = n^2 (n^2 + 2n +1) + 2n^2 + 2n + 1 = n^4 + 2n^3 + n^2 + 2n^2 + 2n +1 = n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n +1.$$\n\n15. **Développement de $2n^2 + 2n +1$ multiplié par $n^2$** : La somme $2n^2 + 2n +1$ ne correspond pas exactement, mais comparons avec l'autre membre. \n16. **Développement du membre de droite avec dénominateur commun** : Rappel : $$1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} = \frac{n^2 (n+1)^2 + (n+1)^2 + n^2}{n^2 (n+1)^2}.$$\nDéveloppons : $$n^2 (n+1)^2 + (n+1)^2 + n^2 = n^4 + 2n^3 + n^2 + n^2 + 2n +1 + n^2 = n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 1.$$\n\n17. **Conclusion** : Les numérateurs sont égaux, donc $$ (1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})^2 = 1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}.$$\n\n18. **Énoncé du troisième problème** : La somme de quatre puissances consécutives de 4 est un multiple de 85, c’est-à-dire $$ 4^n + 4^{n+1} + 4^{n+2} + 4^{n+3} \text{ est divisible par } 85.$$\n\n19. **Factorisation de la somme** : $$ 4^n + 4^{n+1} + 4^{n+2} + 4^{n+3} = 4^n (1 + 4 + 4^2 + 4^3) = 4^n (1 + 4 + 16 + 64) = 4^n (85).$$\n\n20. **Divisibilité** : Comme $85$ apparaît en facteur, la somme est toujours un multiple de $85$, quel que soit $n$ entier naturel.