1. مسئله را بیان می‌کنیم: اگر $x=\alpha$ ریشه معادله $$\frac{4}{x-2} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{2}}$$ باشد، مقدار $$\sqrt{2\alpha - 4}$$ را بیابید. 2. ابتدا معادله را ساده می‌کنیم. معادله به صورت: $$\frac{4}{x-2} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{2}}$$ 3. هر دو طرف را در مخرج سمت راست ضرب می‌کنیم: $$\frac{4}{x-2} (\sqrt{x} + \sqrt{2}) = \sqrt{x}$$ 4. معادله را به شکل زیر می‌نویسیم: $$4 \frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{x-2} = \sqrt{x}$$ 5. هر دو طرف را در $x-2$ ضرب می‌کنیم: $$4(\sqrt{x} + \sqrt{2}) = \sqrt{x}(x-2)$$ 6. سمت راست را باز می‌کنیم: $$4\sqrt{x} + 4\sqrt{2} = x\sqrt{x} - 2\sqrt{x}$$ 7. همه جملات را به یک طرف منتقل می‌کنیم: $$x\sqrt{x} - 2\sqrt{x} - 4\sqrt{x} - 4\sqrt{2} = 0$$ 8. جملات مشابه را جمع می‌کنیم: $$x\sqrt{x} - 6\sqrt{x} - 4\sqrt{2} = 0$$ 9. $\sqrt{x}$ را $t$ می‌گذاریم، پس $x = t^2$: $$t^2 t - 6 t - 4 \sqrt{2} = 0 \Rightarrow t^3 - 6 t - 4 \sqrt{2} = 0$$ 10. معادله مکعبی: $$t^3 - 6 t = 4 \sqrt{2}$$ 11. حدس می‌زنیم $t = a \sqrt{2}$ باشد. جایگذاری: $$ (a \sqrt{2})^3 - 6 (a \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2}$$ 12. محاسبه: $$a^3 (\sqrt{2})^3 - 6 a \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$$ $$a^3 (2 \sqrt{2}) - 6 a \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$$ 13. تقسیم بر $\sqrt{2}$: $$2 a^3 - 6 a = 4$$ 14. معادله ساده: $$2 a^3 - 6 a - 4 = 0$$ 15. تقسیم بر 2: $$a^3 - 3 a - 2 = 0$$ 16. حدس می‌زنیم $a=2$ ریشه باشد: $$2^3 - 3 \times 2 - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$$ 17. پس $a=2$ ریشه است و بنابراین: $$t = 2 \sqrt{2}$$ 18. یادآوری: $t = \sqrt{x}$ پس: $$\sqrt{\alpha} = 2 \sqrt{2} \Rightarrow \alpha = (2 \sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8$$ 19. حال مقدار مورد نظر را محاسبه می‌کنیم: $$\sqrt{2 \alpha - 4} = \sqrt{2 \times 8 - 4} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$$ 20. پاسخ گزینه ۲ است: $2 \sqrt{3}$.