1. Énoncé du problème : Montrer que l'équation $$\sqrt{x} - 3 = \frac{4}{x^{2}}$$ admet une unique solution. 2. Réécrivons l'équation pour faciliter l'étude : $$\sqrt{x} - 3 = \frac{4}{x^{2}}$$ avec $x > 0$ car $\sqrt{x}$ est défini pour $x \geq 0$ et au dénominateur on a $x^2$ donc $x \neq 0$. 3. Posons $f(x) = \sqrt{x} - 3 - \frac{4}{x^2}$. Nous cherchons les racines de $f(x)$, c'est-à-dire $f(x) = 0$. 4. Étudions les variations de $f(x)$ sur $]0, +\infty[ $. Calculons la dérivée $f'(x)$ : $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \left(-\frac{8}{x^{3}}\right) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{8}{x^{3}}.$$ 5. Comme $x > 0$, tous les termes sont positifs, donc $f'(x) > 0$ sur $]0,+\infty[$. Cela signifie que $f$ est strictement croissante sur cet intervalle. 6. Étudions les limites de $f(x)$ pour garantir qu'il y ait une racine unique. - Quand $x \to 0^+$, $$\sqrt{x} \to 0, \quad \frac{4}{x^{2}} \to +\infty,$$ donc $$f(x) = \sqrt{x} - 3 - \frac{4}{x^{2}} \to -\infty.$$ - Quand $x \to +\infty,$ $$\sqrt{x} \to +\infty, \quad \frac{4}{x^{2}} \to 0,$$ alors $$f(x) = \sqrt{x} - 3 - \frac{4}{x^{2}} \to +\infty.$$ 7. Comme $f$ est continue et strictement croissante sur $]0, +\infty[$, avec $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$$ et $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty,$$ par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique valeur de $x$ dans $]0, +\infty[$ telle que $f(x) = 0$. 8. Conclusion : L'équation $$\sqrt{x} - 3 = \frac{4}{x^{2}}$$ admet exactement une solution unique strictement positive. Réponse finale : L'équation admet une unique solution sur $]0, +\infty[$.