1. Le problème consiste à résoudre le système linéaire : $$\begin{cases} 0.12x + 0.09y + 0.05z = 8 \\ x + 0.5y = 40 \\ x + y + z = 100 \end{cases}$$ 2. Pour résoudre ce système, on utilise la méthode d'élimination de Gauss qui consiste à transformer la matrice augmentée en forme échelonnée réduite. 3. Après plusieurs étapes d'élimination et de normalisation (échanger les lignes, éliminer les coefficients sous la diagonale, normaliser les lignes), on obtient la matrice échelonnée réduite : $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 20 \\ 0 & 1 & 0 & | & 40 \\ 0 & 0 & 1 & | & 40 \end{pmatrix}$$ 4. Cette matrice correspond au système équivalent : $$\begin{cases} x = 20 \\ y = 40 \\ z = 40 \end{cases}$$ 5. La raison pour laquelle le résultat final est $20, 40, 40$ est que la méthode d'élimination a isolé chaque variable sur une ligne différente, ce qui signifie que le système a une solution unique. 6. Chaque étape d'élimination a permis d'éliminer les variables des autres équations, simplifiant ainsi le système jusqu'à ce que chaque variable soit isolée et égale à une valeur précise. 7. Ainsi, la solution unique du système est $x=20$, $y=40$, et $z=40$. En résumé, le résultat final est $20, 40, 40$ parce que la méthode d'élimination de Gauss a transformé le système en une forme où chaque variable est isolée et égale à ces valeurs.