1. Le problème consiste à résoudre le système linéaire : $$\begin{cases} 0.12x + 0.09y + 0.05z = 8 \\ x + 0.5y = 40 \\ x + y + z = 100 \end{cases}$$ 2. On écrit la matrice augmentée du système et on effectue l'élimination de Gauss pour obtenir une forme échelonnée réduite. 3. Après plusieurs opérations élémentaires sur les lignes (échange, élimination, normalisation), on obtient la matrice échelonnée réduite : $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 20 \\ 0 & 1 & 0 & | & 40 \\ 0 & 0 & 1 & | & 40 \end{pmatrix}$$ 4. Cette matrice correspond au système équivalent : $$\begin{cases} x = 20 \\ y = 40 \\ z = 40 \end{cases}$$ 5. La raison pour laquelle le résultat final est $20, 40, 40$ est que ces valeurs satisfont toutes les équations du système initial. 6. En effet, en substituant $x=20$, $y=40$, $z=40$ dans chaque équation, on vérifie que les égalités sont vraies, ce qui confirme que c'est la solution unique du système. 7. Ainsi, la méthode d'élimination de Gauss permet de transformer le système en une forme simple où chaque variable est isolée, donnant directement la solution finale.