1. Planteemos la ecuación dada: $$\frac{3}{2(x-3)} + \frac{x-4}{(3-x)(4-x)} = 0$$ 2. Observemos los denominadores. Notemos que $$3-x = -(x-3)$$ y $$4-x = -(x-4)$$. 3. Reescribamos para simplificar usando esto: $$\frac{3}{2(x-3)} + \frac{x-4}{(3-x)(4-x)} = \frac{3}{2(x-3)} + \frac{x-4}{-(x-3)(-(x-4))}$$ Como hay dos signos negativos multiplicándose, esto es $$\frac{3}{2(x-3)} + \frac{x-4}{(x-3)(x-4)}$$ 4. Por tanto, la ecuación queda: $$\frac{3}{2(x-3)} + \frac{x-4}{(x-3)(x-4)} = 0$$ 5. Para sumar, necesitamos un denominador común. Observemos que los denominadores son $$2(x-3)$$ y $$(x-3)(x-4)$$. 6. El común denominador es $$2(x-3)(x-4)$$. 7. Multiplicamos cada término para tener el común denominador: $$\frac{3}{2(x-3)} = \frac{3(x-4)}{2(x-3)(x-4)}$$ $$\frac{x-4}{(x-3)(x-4)} = \frac{2(x-4)}{2(x-3)(x-4)}$$ Pero notamos que el segundo término ya tiene $$x-4$$ en el numerador y denominador; la fracción simplifica a $$\frac{1}{(x-3)}$$. Sin embargo, refiriéndonos al planteamiento original, es mejor proceder con los denominadores originales. 8. Volvamos a la forma original con denominadores para hallar una forma común: $$\frac{3}{2(x-3)} + \frac{x-4}{(3-x)(4-x)} = 0$$ 9. Multiplicamos ambos lados por $$2(x-3)(3-x)(4-x)$$ para eliminar denominadores, considerando que $$3-x=-(x-3)$$ y $$4-x=-(x-4)$$. 10. El producto $$2(x-3)(3-x)(4-x) = 2(x-3)(-(x-3))(-(x-4)) = 2(x-3)^2 (x-4)$$. 11. Al multiplicar cada término: - Primer término: $$3 \cdot (3-x)(4-x) = 3 \cdot (-(x-3)) \cdot (-(x-4)) = 3 (x-3)(x-4)$$ - Segundo término: $$(x-4) \cdot 2(x-3) = 2(x-3)(x-4)$$ 12. Sumamos los numeradores: $$3(x-3)(x-4) + 2(x-3)(x-4) = (3 + 2)(x-3)(x-4) = 5(x-3)(x-4)$$ 13. La ecuación resultante es: $$5(x-3)(x-4) = 0$$ 14. Para que esto sea cierto, cualquiera de los factores debe ser cero: $$x-3=0 \Rightarrow x=3$$ o $$x-4=0 \Rightarrow x=4$$ 15. Sin embargo, revisemos si alguno de estos valores anula denominadores originales para excluirlos: - En $$x=3$$, los denominadores $$x-3=0$$ aparece, lo que no está definido. - En $$x=4$$, denominadores no se anulan porque $$3-x=3-4=-1$$ y $$4-x=0$$, pero se debe revisar. 16. De hecho, en la segunda fracción original, el denominador es $$(3-x)(4-x)$$, si $$x=4$$, entonces denominador es $$(3-4)(4-4) = (-1)(0) = 0$$, lo que no está definido. 17. Por lo tanto, tanto $x=3$ como $x=4$ no pertenecen al dominio y deben ser excluidos. 18. Entonces la suma no puede ser cero para ningún valor de $$x$$ real porque las raíces anulan denominadores. 19. Por ende, el conjunto solución es vacío $$S=\emptyset$$. Respuesta correcta: A. $$S=\emptyset$$