1. **Planteamiento del problema:** Resolver los sistemas de ecuaciones lineales y simplificar las expresiones algebraicas dadas. 2. **Sistema 1:** \begin{align*} 7(2x-5y) &= 7(-12) \\ -2(7x-2y) &= -2(-11) \end{align*} Aplicamos distributiva: \begin{align*} 14x - 35y &= -84 \\ -14x + 4y &= 22 \end{align*} Sumamos ambas ecuaciones para eliminar $x$: $$ (14x - 35y) + (-14x + 4y) = -84 + 22 $$ $$ -31y = -62 $$ Despejamos $y$: $$ y = \frac{-62}{-31} = 2 $$ Sustituimos $y=2$ en la primera ecuación: $$ 14x - 35(2) = -84 $$ $$ 14x - 70 = -84 $$ $$ 14x = -14 $$ $$ x = -1 $$ 3. **Sistema 2:** \begin{align*} 12 - 2(12-2) &= 3(-2) - 2 \\ \frac{12}{3} + \frac{-2}{2} &= 3 \end{align*} Calculamos cada lado: $$ 12 - 2(10) = -6 - 2 $$ $$ 12 - 20 = -8 $$ $$ -8 = -8 \quad \checkmark $$ Segundo: $$ 4 + (-1) = 3 $$ $$ 3 = 3 \quad \checkmark $$ Ambas ecuaciones son verdaderas, sistema compatible. 4. **Sistema 3:** \begin{align*} \frac{2(x+4)}{3} - \frac{y}{2} &= \frac{9}{2} \\ x + 2y - \frac{1}{3}(3x-2) &= -\frac{4}{3} \end{align*} Simplificamos segunda ecuación: $$ x + 2y - (x - \frac{2}{3}) = -\frac{4}{3} $$ $$ x + 2y - x + \frac{2}{3} = -\frac{4}{3} $$ $$ 2y + \frac{2}{3} = -\frac{4}{3} $$ $$ 2y = -\frac{4}{3} - \frac{2}{3} = -2 $$ $$ y = -1 $$ Sustituimos $y=-1$ en la primera: $$ \frac{2(x+4)}{3} - \frac{-1}{2} = \frac{9}{2} $$ $$ \frac{2x + 8}{3} + \frac{1}{2} = \frac{9}{2} $$ Multiplicamos todo por 6 para eliminar denominadores: $$ 2(2x + 8) + 3 = 27 $$ $$ 4x + 16 + 3 = 27 $$ $$ 4x + 19 = 27 $$ $$ 4x = 8 $$ $$ x = 2 $$ 5. **Sistema 4:** \begin{align*} 2x - \frac{1}{2} + y - 1 &= \frac{11}{6} \\ -\frac{2x}{5} + y - \frac{1}{10} &= -\frac{6}{5} \end{align*} Simplificamos primera: $$ 2x + y - \frac{3}{2} = \frac{11}{6} $$ Sumamos $\frac{3}{2}$ a ambos lados: $$ 2x + y = \frac{11}{6} + \frac{3}{2} = \frac{11}{6} + \frac{9}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} $$ Segunda: $$ -\frac{2x}{5} + y = -\frac{6}{5} + \frac{1}{10} = -\frac{12}{10} + \frac{1}{10} = -\frac{11}{10} $$ Multiplicamos primera por 5 y segunda por 3 para eliminar denominadores: $$ 5(2x + y) = 5 \times \frac{10}{3} \Rightarrow 10x + 5y = \frac{50}{3} $$ $$ 3\left(-\frac{2x}{5} + y\right) = 3 \times -\frac{11}{10} \Rightarrow -\frac{6x}{5} + 3y = -\frac{33}{10} $$ Multiplicamos segunda por 5 para eliminar denominador: $$ -6x + 15y = -\frac{33}{2} $$ Multiplicamos primera por 3: $$ 30x + 15y = 50 $$ Restamos segunda de primera: $$ (30x + 15y) - (-6x + 15y) = 50 - (-\frac{33}{2}) $$ $$ 30x + 15y + 6x - 15y = 50 + \frac{33}{2} $$ $$ 36x = \frac{100}{2} + \frac{33}{2} = \frac{133}{2} $$ $$ x = \frac{133}{72} $$ Sustituimos en primera: $$ 2\left(\frac{133}{72}\right) + y = \frac{10}{3} $$ $$ \frac{266}{72} + y = \frac{10}{3} $$ $$ y = \frac{10}{3} - \frac{266}{72} = \frac{240}{72} - \frac{266}{72} = -\frac{26}{72} = -\frac{13}{36} $$ 6. **Sistema 5:** \begin{align*} \frac{2(x+1)}{3} - y &= -3 \\ 3(x+5-y) + 3x &= 12 \end{align*} Primera: $$ \frac{2x + 2}{3} - y = -3 $$ Multiplicamos por 3: $$ 2x + 2 - 3y = -9 $$ $$ 2x - 3y = -11 $$ Segunda: $$ 3x + 15 - 3y + 3x = 12 $$ $$ 6x - 3y = -3 $$ Restamos primera de segunda: $$ (6x - 3y) - (2x - 3y) = -3 - (-11) $$ $$ 4x = 8 $$ $$ x = 2 $$ Sustituimos en primera: $$ 2(2) - 3y = -11 $$ $$ 4 - 3y = -11 $$ $$ -3y = -15 $$ $$ y = 5 $$ 7. **Simplificación de expresiones:** - Para cada expresión, factorizamos numerador y denominador y simplificamos términos comunes. Ejemplo: $$ \frac{a^2 - 4a - 5}{a^2 - 3a - 10} : \frac{a^2 - 2a - 3}{a^2 + 2a - 8} = \frac{a^2 - 4a - 5}{a^2 - 3a - 10} \times \frac{a^2 + 2a - 8}{a^2 - 2a - 3} $$ Factorizamos: $$ a^2 - 4a - 5 = (a - 5)(a + 1) $$ $$ a^2 - 3a - 10 = (a - 5)(a + 2) $$ $$ a^2 - 2a - 3 = (a - 3)(a + 1) $$ $$ a^2 + 2a - 8 = (a + 4)(a - 2) $$ Sustituimos: $$ \frac{(a - 5)(a + 1)}{(a - 5)(a + 2)} \times \frac{(a + 4)(a - 2)}{(a - 3)(a + 1)} $$ Cancelamos términos comunes: $$ \frac{\cancel{(a - 5)}\cancel{(a + 1)}}{\cancel{(a - 5)}(a + 2)} \times \frac{(a + 4)(a - 2)}{(a - 3)\cancel{(a + 1)}} = \frac{(a + 4)(a - 2)}{(a + 2)(a - 3)} $$ **Respuesta final:** \begin{align*} &\text{Sistema 1: } x = -1, y = 2 \\ &\text{Sistema 2: Compatible (verdadero)} \\ &\text{Sistema 3: } x = 2, y = -1 \\ &\text{Sistema 4: } x = \frac{133}{72}, y = -\frac{13}{36} \\ &\text{Sistema 5: } x = 2, y = 5 \\ &\text{Simplificación ejemplo: } \frac{(a + 4)(a - 2)}{(a + 2)(a - 3)} \end{align*}