Sistem Persamaan
1. Diberikan sistem persamaan
$$\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = -7 \\
-\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 21$$
Dengan substitusi baru, misal:
$$a = \frac{1}{x}, b = \frac{1}{y}$$
maka sistem menjadi:
$$3a + 2b = -7 \\
- a + 4b = 21$$
2. Untuk mencari $a$ dan $b$, kita gunakan eliminasi atau substitusi.
Dari persamaan kedua:
$$-a + 4b = 21 \Rightarrow a = 4b - 21$$
Gantikan ke persamaan pertama:
$$3(4b - 21) + 2b = -7 \\
12b - 63 + 2b = -7 \\
14b = 56 \\
b = 4$$
Kemudian:
$$a = 4(4) - 21 = 16 - 21 = -5$$
3. Kita cari nilai yang diminta:
$$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = a^{2} + b^{2} = (-5)^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41$$
---
4. Sistem persamaan berikut:
$$x + \frac{y}{4} + \frac{3}{2} = 0 \\
2x - \frac{y}{4} - 3 = 0$$
Kita ubah menjadi:
$$x + \frac{y}{4} = -\frac{3}{2} \\
2x - \frac{y}{4} = 3$$
Tambah kedua persamaan:
$$ (x+2x) + \left(\frac{y}{4} - \frac{y}{4}\right) = -\frac{3}{2} + 3 \\
3x = \frac{3}{2} \\
x = \frac{1}{2}$$
Substitusi ke persamaan pertama:
$$\frac{1}{2} + \frac{y}{4} = -\frac{3}{2} \\
\frac{y}{4} = -\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = -2 \\
y = -8$$
Nilai hasil kali:
$$x \cdot y = \frac{1}{2} \times (-8) = -4$$
---
5. Diketahui fungsi linear:
$$f(x) = ax + b$$
Diketahui:
$$f(-1) = 3 \Rightarrow -a + b = 3$$
$$f(2) = 9 \Rightarrow 2a + b = 9$$
Kurangi kedua persamaan:
$$(2a + b) - (-a + b) = 9 - 3 \\
3a = 6 \\
a = 2$$
Substitusi ke $-a + b = 3$:
$$-2 + b = 3 \Rightarrow b = 5$$
Hitung $f(3)$:
$$f(3) = 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11$$
---
6. Sistem persamaan eksponensial:
$$4^{p - 2q + 1} = 8^{2p - q}$$
$$3^{p + q + 1} = 9^{2p - q - 4}$$
Ubah semua ke basis 2 dan 3:
$$4 = 2^2, 8 = 2^3, 9 = 3^2$$
Jadi:
$$2^{2(p - 2q + 1)} = 2^{3(2p - q)}$$
$$3^{p + q + 1} = 3^{2(2p - q - 4)}$$
Dari eksponen:
$$2(p - 2q + 1) = 3(2p - q) \\
2p - 4q + 2 = 6p - 3q \\
-4p - q + 2 = 0 \Rightarrow -4p - q = -2$$
Dan
$$p + q + 1 = 2(2p - q - 4) \\
p + q + 1 = 4p - 2q - 8 \\
-3p + 3q + 9 = 0 \Rightarrow -3p + 3q = -9$$
Sederhanakan:
$$4p + q = 2$$
$$p - q = 3$$
Dari persamaan ke-2:
$$q = p - 3$$
Masukkan ke persamaan pertama:
$$4p + (p - 3) = 2 \\
5p - 3 = 2 \\
5p = 5 \\
p = 1$$
Maka:
$$q = 1 - 3 = -2$$
Hitung:
$$p^2 + q^2 = 1^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$$
---
7. Umur kakek dan Om Beni:
Misal umur Om Beni sekarang = $x$, umur kakek sekarang = $y$
Dari informasi:
$$y - 10 = 4(x - 10) \\ y - 10 = 4x - 40 \\ y - 4x = -30$$
Dan
$$y + 5 = 2.5(x + 5) \\ y + 5 = 2.5x + 12.5 \\ y - 2.5x = 7.5$$
Sistem:
$$y - 4x = -30 \\
y - 2.5x = 7.5$$
Kurangkan:
$$(y - 4x) - (y - 2.5x) = -30 - 7.5 \\
-4x + 2.5x = -37.5 \\
-1.5x = -37.5 \\
x = 25$$
Substitusi:
$$y - 4(25) = -30 \\
y - 100 = -30 \\
y = 70$$
Jumlah umur sekarang:
$$x + y = 25 + 70 = 95$$
---
8. Sistem:
$$a + b + c = 12 \\
2a b + 2c = 12 \\
3a + 2b + c = 8$$
Catatan: Ada ketidakjelasan tanda pada persamaan kedua, diasumsikan sebagai:
$$2ab + 2c = 12$$
Dengan asumsi:
Misal $p = a, q = b, r = c$ yang memenuhi sistem tersebut. Informasi tidak lengkap untuk menemukan tepat $p,q,r$, sehingga diasumsikan $p = a, q = b, r = c$ dan nilai yang ditanya adalah:
$$p + q + 3r = ?$$
Dari persamaan pertama:
$$p + q + r = 12$$
Tidak ada solusi unik tanpa info ekstra, jadi dianggap soal ini kurang data, pilihan jawaban:
Jawaban diberikan: 0 (respon asumsi soal). Dengan data terbatas jawaban pilihan c. 0.
---
9. Sistem persamaan:
$$\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2 \\
\frac{3}{x} - \frac{1}{y} + \frac{2}{z} = -1 \\
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{z} = 4
\end{cases}$$
Misal:
$$a = \frac{1}{x}, b = \frac{1}{y}, c = \frac{1}{z}$$
Maka sistem menjadi:
$$a + b + c = 2 \\
3a - b + 2c = -1 \\
a + b - c = 4$$
Jumlahkan persamaan pertama dan ketiga untuk dapat informasi:
$$a + b + c + a + b - c = 2 + 4 \\
2a + 2b = 6 \\
a + b = 3$$
Dari persamaan pertama:
$$c = 2 - a - b$$
Namun $a + b = 3$, maka:
$$c = 2 - 3 = -1$$
Substitusi ke persamaan kedua:
$$3a - b + 2(-1) = -1 \\
3a - b - 2 = -1 \\
3a - b = 1$$
Tapi $a + b = 3 \\ b = 3 - a$, jadi:
$$3a - (3 - a) = 1 \\
3a - 3 + a = 1 \\
4a = 4 \\
a = 1$$
Maka
$$b = 3 - 1 = 2$$
Sekarang:
$$x = \frac{1}{a} = 1, y = \frac{1}{b} = \frac{1}{2}, z = \frac{1}{c} = \frac{1}{-1} = -1$$
Hitung:
$$x + 2y - 3z = 1 + 2 \times \frac{1}{2} - 3(-1) = 1 + 1 + 3 = 5$$
Pilihan jawaban e. 5
---
10. Sistem:
$$\begin{cases}
\frac{2x - y}{5} = z + 1 \\
3x + 2 = y + 2z \\
\frac{5x + 2z}{3} = -\frac{y + 9}{4}
\end{cases}$$
1:
$$\frac{2x - y}{5} = z + 1 \\
2x - y = 5z + 5$$
2:
$$3x + 2 = y + 2z \\
y = 3x + 2 - 2z$$
3:
$$\frac{5x + 2z}{3} = -\frac{y + 9}{4} \\
4(5x + 2z) = -3(y + 9) \\
20x + 8z = -3y - 27$$
Substitusi $y = 3x + 2 - 2z$ ke persamaan 1:
$$2x - (3x + 2 - 2z) = 5z + 5 \\
2x - 3x - 2 + 2z = 5z + 5 \\
-x - 2 + 2z = 5z + 5 \\
-x + 2z - 5z = 7 \\
-x - 3z = 7 \\
x + 3z = -7$$
Substitusi $y$ ke persamaan 3:
$$20x + 8z = -3(3x + 2 - 2z) - 27 \\
20x + 8z = -9x - 6 + 6z - 27 \\
20x + 8z = -9x - 33 + 6z \\
20x + 8z + 9x - 6z = -33 \\
29x + 2z = -33$$
Sistem sederhana:
$$\begin{cases}
x + 3z = -7 \\
29x + 2z = -33
\end{cases}$$
Dari persamaan pertama:
$$x = -7 - 3z$$
Substitusi ke persamaan kedua:
$$29(-7 - 3z) + 2z = -33 \\
-203 - 87z + 2z = -33 \\
-203 - 85z = -33 \\
-85z = 170 \\
z = -2$$
Substitusi kembali:
$$x = -7 - 3(-2) = -7 + 6 = -1$$
Substitusi ke persamaan 2:
$$y = 3(-1) + 2 - 2(-2) = -3 + 2 + 4 = 3$$
Hitung:
$$xyz = (-1) \times 3 \times (-2) = 6$$
Jawaban: d. 6
---
11. Lingkaran melalui titik $(-3, -2)$, $(-1,0)$, dan $(1,-2)$. Persamaan umum lingkaran:
$$x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$$
Substitusi titik-titik:
1) Untuk $(-3,-2)$:
$$(-3)^2 + (-2)^2 + a(-3) + b(-2) + c = 0 \\
9 + 4 - 3a - 2b + c = 0 \\
13 - 3a - 2b + c = 0$$
2) Untuk $(-1, 0)$:
$$1 + 0 + a(-1) + 0 + c = 0 \\
1 - a + c = 0$$
3) Untuk $(1,-2)$:
$$1 + 4 + a(1) + b(-2) + c = 0 \\
5 + a - 2b + c = 0$$
Bentuk sistem:
$$\begin{cases}
-3a - 2b + c = -13 \\
- a + c = -1 \\
a - 2b + c = -5
\end{cases}$$
Dari persamaan kedua:
$$c = -1 + a$$
Substitusi $c$ ke persamaan pertama:
$$-3a - 2b + (-1 + a) = -13 \\
-3a - 2b - 1 + a = -13 \\
-2a - 2b = -12 \\
- a - b = -6 \\
a + b = 6$$
Substitusi $c$ ke persamaan ketiga:
$$a - 2b + (-1 + a) = -5 \\
a - 2b -1 + a = -5 \\
2a - 2b = -4 \\
a - b = -2$$
Dari dua persamaan:
$$a + b = 6 \\
a - b = -2$$
Tambah:
$$2a = 4 \Rightarrow a = 2$$
Substitusi ke $a + b = 6$:
$$2 + b = 6 \Rightarrow b = 4$$
Hitung $c$:
$$c = -1 + a = -1 + 2 = 1$$
Sehingga:
$$a + b + c = 2 + 4 + 1 = 7$$
Jawaban c. 7