1. **Tujuan Pembelajaran** - Memahami konsep sistem persamaan linier tiga variabel. - Mampu menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variabel menggunakan metode determinan, eliminasi, substitusi, dan eliminasi-substitusi. - Mengaplikasikan penyelesaian sistem persamaan linier dalam masalah nyata. 2. **Bentuk Umum Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel** Sistem persamaan linier tiga variabel terdiri dari tiga persamaan dengan tiga variabel $x$, $y$, dan $z$: $$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}$$ Dimana $a_i$, $b_i$, $c_i$, dan $d_i$ adalah konstanta. 3. **Peta Konsep** - Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel - Metode Penyelesaian - Determinan (Cramer) - Eliminasi - Substitusi - Eliminasi-Substitusi - Himpunan Penyelesaian - Solusi unik - Solusi tak hingga - Tidak ada solusi 4. **Himpunan Penyelesaian dan Metode Penyelesaian** **a. Metode Determinan (Cramer)** - Gunakan matriks koefisien: $$A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$$ - Hitung determinan $D = \det(A)$. - Jika $D \neq 0$, solusi unik: $$x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D}$$ Dimana $D_x$, $D_y$, dan $D_z$ adalah determinan matriks yang diperoleh dengan mengganti kolom $x$, $y$, dan $z$ dengan vektor konstanta $\begin{bmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{bmatrix}$. **b. Metode Eliminasi** - Eliminasi variabel dengan menjumlahkan atau mengurangkan persamaan agar satu variabel hilang. - Ulangi sampai mendapatkan dua persamaan dengan dua variabel. - Selesaikan dua persamaan tersebut. - Substitusikan kembali untuk mendapatkan variabel ketiga. **c. Metode Substitusi** - Selesaikan salah satu persamaan untuk satu variabel. - Substitusikan hasilnya ke persamaan lain. - Ulangi sampai mendapatkan nilai semua variabel. **d. Metode Eliminasi-Substitusi** - Gabungan metode eliminasi dan substitusi untuk menyelesaikan sistem. 5. **Contoh Soal dan Penyelesaian** **Soal:** $$\begin{cases} 2x + y - z = 3 \\ x - y + 2z = 3 \\ 3x + 2y + z = 10 \end{cases}$$ **Penyelesaian dengan Metode Determinan:** - Matriks koefisien: $$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$$ - Hitung determinan $D$: $$D = 2((-1)(1) - 2(2)) - 1(1(1) - 2(3)) + (-1)(1(2) - (-1)(3))$$ $$= 2(-1 - 4) - 1(1 - 6) - 1(2 + 3) = 2(-5) - 1(-5) - 1(5) = -10 + 5 - 5 = -10$$ - Matriks $D_x$: $$\begin{bmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 10 & 2 & 1 \end{bmatrix}$$ Hitung $D_x$: $$3((-1)(1) - 2(2)) - 1(3(1) - 2(10)) + (-1)(3(2) - (-1)(10))$$ $$= 3(-1 - 4) - 1(3 - 20) - 1(6 + 10) = 3(-5) - 1(-17) - 1(16) = -15 + 17 - 16 = -14$$ - Matriks $D_y$: $$\begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & 10 & 1 \end{bmatrix}$$ Hitung $D_y$: $$2(3(1) - 2(10)) - 3(1(1) - 2(3)) + (-1)(1(10) - 3(3))$$ $$= 2(3 - 20) - 3(1 - 6) - 1(10 - 9) = 2(-17) - 3(-5) - 1(1) = -34 + 15 - 1 = -20$$ - Matriks $D_z$: $$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & 10 \end{bmatrix}$$ Hitung $D_z$: $$2((-1)(10) - 3(2)) - 1(1(10) - 3(3)) + 3(1(2) - (-1)(3))$$ $$= 2(-10 - 6) - 1(10 - 9) + 3(2 + 3) = 2(-16) - 1(1) + 3(5) = -32 - 1 + 15 = -18$$ - Solusi: $$x = \frac{D_x}{D} = \frac{-14}{-10} = 1.4$$ $$y = \frac{D_y}{D} = \frac{-20}{-10} = 2$$ $$z = \frac{D_z}{D} = \frac{-18}{-10} = 1.8$$ Jadi, solusi sistem adalah $x=1.4$, $y=2$, dan $z=1.8$. **Kesimpulan:** Sistem persamaan linier tiga variabel dapat diselesaikan dengan berbagai metode yang saling melengkapi. Pemilihan metode tergantung pada konteks dan kemudahan perhitungan.