1. Calculer et simplifier : - $$\sqrt{12} \times \sqrt{3} = \sqrt{12 \times 3} = \sqrt{36} = 6$$ - $$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{-4} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{-4} = \left(\frac{2^{1/2}}{2}\right)^{-4} = \left(2^{-1/2}\right)^{-4} = 2^{2} = 4$$ - $$\sqrt{5} - \sqrt{3} \times \sqrt{5} + \sqrt{3} = \sqrt{5} - \sqrt{15} + \sqrt{3}$$ (on ne peut pas simplifier davantage) 2. Montrer que : - $$A = 3\sqrt{3} - \sqrt{27} + \sqrt{48} = 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$ - $$B = \frac{5}{\sqrt{6}} - 1 - \sqrt{6} = \frac{5}{\sqrt{6}} - 1 - \sqrt{6} = \frac{5}{\sqrt{6}} - \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} - \sqrt{6} = \frac{5 - 6 - 6}{\sqrt{6}} = \frac{-7}{\sqrt{6}}$$ Correction: Recalculons B correctement: $$B = \frac{5}{\sqrt{6}} - 1 - \sqrt{6} = \frac{5}{\sqrt{6}} - \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} - \frac{6}{\sqrt{6}} = \frac{5 - \sqrt{6} - 6}{\sqrt{6}}$$ Mais cette simplification est incorrecte, il faut rationaliser: $$\frac{5}{\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{6}}{6}$$ Donc: $$B = \frac{5\sqrt{6}}{6} - 1 - \sqrt{6} = \frac{5\sqrt{6}}{6} - \frac{6}{6} - \frac{6\sqrt{6}}{6} = \frac{5\sqrt{6} - 6 - 6\sqrt{6}}{6} = \frac{-\sqrt{6} - 6}{6}$$ Cela ne donne pas 1, donc il faut vérifier l'énoncé ou la méthode. 3. Écriture scientifique de : $$A = 0.0045 \times 10^{-5} \times 5 \times 10^{-9} = (4.5 \times 10^{-3}) \times 10^{-5} \times 5 \times 10^{-9} = 4.5 \times 5 \times 10^{-3 - 5 - 9} = 22.5 \times 10^{-17} = 2.25 \times 10^{-16}$$ 4. Factoriser : $$H = 5x - 10 + (x - 2)^2 = 5x - 10 + (x^2 - 4x + 4) = x^2 + (5x - 4x) + (-10 + 4) = x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$$ 5. Développer et simplifier : $$K = (x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3}) + (x - \sqrt{3})^2 = (x^2 - 3) + (x^2 - 2x\sqrt{3} + 3) = x^2 - 3 + x^2 - 2x\sqrt{3} + 3 = 2x^2 - 2x\sqrt{3}$$ 6. Résoudre l'équation : $$(x - 3)^2 = 25 \Rightarrow x - 3 = \pm 5 \Rightarrow x = 3 \pm 5$$ Donc: - $$x = 8$$ - $$x = -2$$