1. مسئله: حاصل عبارت‌ها را به صورت یک چندتوانی ساده بنویسید. 2. قانون توان‌ها: - $a^m \times a^n = a^{m+n}$ - $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ - $(a^m)^n = a^{m \times n}$ - $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$ 3. حل هر قسمت: (الف) $$\left(\frac{7}{5}\right)^3 \times \left(\frac{7}{5}\right)^{-7} = \left(\frac{7}{5}\right)^{3 + (-7)} = \left(\frac{7}{5}\right)^{-4}$$ (ب) $$\frac{a^7 b^{-3}}{b^7 a^{-3}} = a^{7 - (-3)} b^{-3 - 7} = a^{10} b^{-10}$$ (ج) $$\frac{(ab)^{-x} \times b}{a^7 b^{-1}} = \frac{a^{-x} b^{-x} \times b^1}{a^7 b^{-1}} = a^{-x - 7} b^{-x + 1 + 1} = a^{-x - 7} b^{-x + 2}$$ (د) $$\left(\frac{1}{7}\right)^9 + \left(\frac{1}{7}\right)^{-7} = 7^{-9} + 7^{7}$$ (جمع ساده نیست، پس به همین صورت باقی می‌ماند.) (ه) $$\left(\frac{7}{9}\right)^7 \times 3^3 = \frac{7^7}{9^7} \times 3^3 = \frac{7^7}{(3^2)^7} \times 3^3 = \frac{7^7}{3^{14}} \times 3^3 = 7^7 \times 3^{3 - 14} = 7^7 \times 3^{-11}$$ (و) $$(3^{-3})^{-7} = 3^{(-3) \times (-7)} = 3^{21}$$ (ز) $$\frac{a^{-7} + a^{-7} + a^{-7}}{a^{-7} + a^{-7} + a^{-7}} = \frac{3a^{-7}}{3a^{-7}} = 1$$ (ح) $$\left(\frac{1}{7}\right)^7 + \left(\frac{5}{7}\right)^7 = 7^{-7} + \left(\frac{5}{7}\right)^7$$ (جمع ساده نیست، پس به همین صورت باقی می‌ماند.) (ط) $$\frac{7^9 \times 7^{-4} \times 7^7}{7^{-9}} = 7^{9 - 4 + 7 - (-9)} = 7^{9 - 4 + 7 + 9} = 7^{21}$$ (ی) $$2^1 \times (1^{-7} + 1^{-7}) \times 3^0 = 2 \times (1 + 1) \times 1 = 2 \times 2 = 4$$ (ک) $$(0.25)^{-7} \times 8^3 = (\frac{1}{4})^{-7} \times 8^3 = 4^7 \times 8^3 = (2^2)^7 \times (2^3)^3 = 2^{14} \times 2^{9} = 2^{23}$$ (ل) $$\frac{r^{-7} \times r^{-11}}{r^{-2}} = r^{-7 - 11 - (-2)} = r^{-16}$$ (م) $$\frac{r^{-n} \times r^n}{r^n} = r^{-n + n - n} = r^{-n}$$ (ن) $$\frac{r^1 \times r^9 \times r^{19}}{r^{-1} \times r^9 \times r^{-1}} = r^{1 + 9 + 19 - (-1) - 9 - (-1)} = r^{29 + 1 + 1} = r^{31}$$ (س) $$\frac{a^{-7} \times 1}{a^{-1} \times \left(\frac{1}{a}\right)} = \frac{a^{-7}}{a^{-1} \times a^{-1}} = \frac{a^{-7}}{a^{-2}} = a^{-7 - (-2)} = a^{-5}$$ (ع) $$\frac{t^{-10} \times 3^7}{(t^{-8})^{-3} \times t^{16}} = \frac{t^{-10} \times 3^7}{t^{24} \times t^{16}} = \frac{t^{-10} \times 3^7}{t^{40}} = 3^7 \times t^{-10 - 40} = 3^7 t^{-50}$$ پاسخ نهایی هر قسمت به صورت چندتوانی ساده شده ارائه شد.