1. مسئله را بیان می‌کنیم: تابع داده شده به صورت $$f(x) = \frac{1}{x^r - x} + \frac{1}{x^r - 1}$$ است و هدف ما ساده‌سازی یا حل این عبارت است. 2. ابتدا صورت مسئله را بررسی می‌کنیم و هدف را مشخص می‌کنیم: می‌خواهیم عبارت را به صورت یک کسر واحد ساده کنیم یا به شکل قابل فهم‌تری تبدیل کنیم. 3. برای جمع دو کسر، مخرج مشترک را پیدا می‌کنیم. مخرج‌ها عبارتند از $$x^r - x$$ و $$x^r - 1$$. 4. مخرج مشترک برابر است با حاصل‌ضرب دو مخرج یا کمترین مضرب مشترک (در اینجا چون ساده نیست، از حاصل‌ضرب استفاده می‌کنیم): $$ (x^r - x)(x^r - 1) $$ 5. صورت کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب می‌کنیم و صورت کسر دوم را در مخرج کسر اول ضرب می‌کنیم: $$ \frac{1}{x^r - x} = \frac{x^r - 1}{(x^r - x)(x^r - 1)} $$ $$ \frac{1}{x^r - 1} = \frac{x^r - x}{(x^r - x)(x^r - 1)} $$ 6. حال دو کسر را جمع می‌کنیم: $$ f(x) = \frac{x^r - 1}{(x^r - x)(x^r - 1)} + \frac{x^r - x}{(x^r - x)(x^r - 1)} = \frac{(x^r - 1) + (x^r - x)}{(x^r - x)(x^r - 1)} $$ 7. صورت کسر را ساده می‌کنیم: $$ (x^r - 1) + (x^r - x) = x^r - 1 + x^r - x = 2x^r - x - 1 $$ 8. پس عبارت نهایی به صورت زیر است: $$ f(x) = \frac{2x^r - x - 1}{(x^r - x)(x^r - 1)} $$ 9. این ساده‌ترین شکل ممکن است مگر اینکه بخواهیم بیشتر تجزیه کنیم که بستگی به مقدار $r$ دارد. نتیجه: $$f(x) = \frac{2x^r - x - 1}{(x^r - x)(x^r - 1)}$$