1. مسئله: باید مقدار عبارت $$\frac{4^{-15} \times 32^3}{(4^{-5})^5 \times 16^4}$$ را به صورت توان دار ساده کنیم. 2. فرمول‌ها و قوانین مهم: - قانون توان‌ها: $$a^m \times a^n = a^{m+n}$$ - قانون توان به توان: $$(a^m)^n = a^{m \times n}$$ - تبدیل اعداد به پایه‌های مشترک برای ساده‌سازی. 3. تبدیل اعداد به پایه 2: - $$4 = 2^2$$ - $$32 = 2^5$$ - $$16 = 2^4$$ 4. جایگذاری پایه‌ها: $$\frac{(2^2)^{-15} \times (2^5)^3}{((2^2)^{-5})^5 \times (2^4)^4}$$ 5. اعمال قوانین توان: - صورت: $$2^{2 \times (-15)} \times 2^{5 \times 3} = 2^{-30} \times 2^{15} = 2^{-30 + 15} = 2^{-15}$$ - مخرج: $$ (2^{2 \times (-5)})^5 \times 2^{4 \times 4} = (2^{-10})^5 \times 2^{16} = 2^{-50} \times 2^{16} = 2^{-50 + 16} = 2^{-34}$$ 6. کسر را ساده می‌کنیم: $$\frac{2^{-15}}{2^{-34}} = 2^{-15 - (-34)} = 2^{-15 + 34} = 2^{19}$$ 7. پاسخ نهایی به صورت توان دار: $$2^{19}$$