1. **Énoncé du problème :** Effectuer les calculs suivants, rendre le dénominateur rationnel et résoudre une équation : **a)** Simplifier $(\sqrt{a} - \sqrt{5})(\sqrt{a^3} + \sqrt{a^2 b} + \sqrt{a^4 b^2} + \sqrt{b^3})$ **b)** Simplifier $\sqrt{a} \dfrac{9 + \sqrt{9} - \sqrt{3}}{2} \times \sqrt{a} \dfrac{9 - \sqrt{9} - \sqrt{3}}{2}$ **2a)** Rendre rationnel le dénominateur de $\dfrac{q}{q - \sqrt{3}}$ **2b)** Rendre rationnel le dénominateur de $\dfrac{6}{\sqrt{3}^2}$ **3)** Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(x^2)^3 = 729$ 2. **Solution a) :** $(\sqrt{a} - \sqrt{5})(\sqrt{a^3} + \sqrt{a^2 b} + \sqrt{a^4 b^2} + \sqrt{b^3})$ Simplifions chaque terme sous radicaux : - $\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = a \sqrt{a}$ - $\sqrt{a^2 b} = a \sqrt{b}$ - $\sqrt{a^4 b^2} = a^2 b$ - $\sqrt{b^3} = b \sqrt{b}$ Donc le second facteur devient $a \sqrt{a} + a \sqrt{b} + a^2 b + b \sqrt{b}$. Distribuons $(\sqrt{a} - \sqrt{5})$ : $$ \sqrt{a} \times (a \sqrt{a} + a \sqrt{b} + a^2 b + b \sqrt{b}) - \sqrt{5} \times (a \sqrt{a} + a \sqrt{b} + a^2 b + b \sqrt{b}) $$ Calculons chaque produit : - $\sqrt{a} \times a \sqrt{a} = a (\sqrt{a} \times \sqrt{a}) = a \times a = a^2$ - $\sqrt{a} \times a \sqrt{b} = a \sqrt{a b}$ - $\sqrt{a} \times a^2 b = a^2 b \sqrt{a}$ - $\sqrt{a} \times b \sqrt{b} = b \sqrt{a b}$ - $-\sqrt{5} \times a \sqrt{a} = -a \sqrt{5 a}$ - $-\sqrt{5} \times a \sqrt{b} = -a \sqrt{5 b}$ - $-\sqrt{5} \times a^2 b = -a^2 b \sqrt{5}$ - $-\sqrt{5} \times b \sqrt{b} = -b \sqrt{5 b}$ Regroupons : $$ a^2 + a \sqrt{a b} + a^2 b \sqrt{a} + b \sqrt{a b} - a \sqrt{5 a} - a \sqrt{5 b} - a^2 b \sqrt{5} - b \sqrt{5 b} $$ Ceci est la forme développée complètement simplifiée. 3. **Solution b) :** On a : $\sqrt{a} \times \dfrac{9 + \sqrt{9} - \sqrt{3}}{2} \times \sqrt{a} \times \dfrac{9 - \sqrt{9} - \sqrt{3}}{2}$ Remarquons que $\sqrt{9} = 3$. Donc on remplace : $$ \sqrt{a} \times \dfrac{9 + 3 - \sqrt{3}}{2} \times \sqrt{a} \times \dfrac{9 - 3 - \sqrt{3}}{2} $$ Cela devient : $$ \sqrt{a} \times \dfrac{12 - \sqrt{3}}{2} \times \sqrt{a} \times \dfrac{6 - \sqrt{3}}{2} $$ Puis : $$ \sqrt{a} \times \sqrt{a} = a $$ Donc le produit est : $$ \dfrac{a}{4} (12 - \sqrt{3})(6 - \sqrt{3}) $$ Développons $(12 - \sqrt{3})(6 - \sqrt{3})$ : $$ = 12 \times 6 - 12 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 72 - 18 \sqrt{3} + 3 = 75 - 18 \sqrt{3} $$ (Note : $-12\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = -18 \sqrt{3}$) Donc le résultat final est : $$ \dfrac{a}{4} (75 - 18 \sqrt{3}) $$ 4. **Solution 2a) :** Rendre rationnel le dénominateur $\dfrac{q}{q - \sqrt{3}}$ en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué $q + \sqrt{3}$ : $$ \dfrac{q}{q - \sqrt{3}} \times \dfrac{q + \sqrt{3}}{q + \sqrt{3}} = \dfrac{q (q + \sqrt{3})}{(q)^2 - (\sqrt{3})^2} = \dfrac{q^2 + q \sqrt{3}}{q^2 - 3} $$ Le dénominateur est désormais rationnel. 5. **Solution 2b) :** On simplifie d'abord $\sqrt{3}^2 = 3$. Donc : $$ \dfrac{6}{\sqrt{3}^2} = \dfrac{6}{3} = 2 $$ Le dénominateur est déjà rationnel, le résultat est 2. 6. **Solution 3 :** Résoudre l'équation : $$(x^2)^3 = 729$$ On a : $$ (x^2)^3 = x^{2 \times 3} = x^6 = 729 $$ Or $729 = 3^6$, donc $$ x^6 = 3^6 \implies |x| = 3 $$ Ainsi : $$ x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -3 $$ **Réponse finale :** $x = \pm 3$.