1. **Énoncé du problème :** Simplifier l'expression $$\frac{\sqrt[3]{2} \times \sqrt{6} \times \sqrt[5]{8}}{\sqrt[3]{4}}$$. 2. **Formules et règles importantes :** - Pour les racines, on peut écrire $$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$$. - La multiplication de puissances de même base s'additionne : $$a^m \times a^n = a^{m+n}$$. - La division de puissances de même base se soustrait : $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$. 3. **Réécriture en puissances :** - $$\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$$ - $$\sqrt{6} = 6^{\frac{1}{2}} = (2 \times 3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{2}}$$ - $$\sqrt[5]{8} = 8^{\frac{1}{5}} = (2^3)^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{3}{5}}$$ - $$\sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}} = (2^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$$ 4. **Substitution dans l'expression :** $$\frac{2^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{2}{3}}}$$ 5. **Regroupement des puissances de 2 :** $$\frac{2^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{3}{5}} \times 3^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{2}{3}}} = 2^{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{3}{5} - \frac{2}{3}\right)} \times 3^{\frac{1}{2}}$$ 6. **Calcul des exposants de 2 :** - Trouvons un dénominateur commun : 30 - $$\frac{1}{3} = \frac{10}{30}, \frac{1}{2} = \frac{15}{30}, \frac{3}{5} = \frac{18}{30}, \frac{2}{3} = \frac{20}{30}$$ - Somme : $$10 + 15 + 18 - 20 = 23$$ - Donc l'exposant est $$\frac{23}{30}$$ 7. **Expression simplifiée :** $$2^{\frac{23}{30}} \times 3^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{23}{30}} \times \sqrt{3}$$ **Réponse finale :** $$\boxed{2^{\frac{23}{30}} \times \sqrt{3}}$$