1. **Énoncé du problème :** Nous devons expliquer la multiplication et la simplification du numérateur et du dénominateur de l'expression donnée : $$\frac{\left(2x + 4\right)^{\frac{1}{2}} \cdot (-8x^{4} - 16x^{3} - 6 + 2x^{4})}{2\left(3 - x^{4}\right)^{\frac{1}{2}}} = \frac{-6x^{4} - 16x^{3} - 6}{2\left(3 - x^{4}\right)^{\frac{1}{2}} \left(2x + 4\right)^{\frac{3}{2}}}$$ 2. **Simplification du numérateur avant multiplication :** Nous avons dans le numérateur la multiplication de deux expressions. La première est: $$ (2x + 4)^{\frac{1}{2}} $$ La deuxième est la somme: $$ -8x^{4} - 16x^{3} - 6 + 2x^{4} $$ On peut simplifier cette somme en regroupant les termes similaires $-8x^4$ et $2x^4$: $$ (-8x^{4} + 2x^{4}) - 16x^{3} - 6 = -6x^{4} - 16x^{3} - 6 $$ Donc, le numérateur devient: $$ (2x + 4)^{\frac{1}{2}} \cdot (-6x^{4} - 16x^{3} - 6) $$ 3. **Décomposition du dénominateur dans la deuxième expression :** Le dénominateur est écrit comme: $$ 2(3 - x^{4})^{\frac{1}{2}} (2x + 4)^{\frac{3}{2}} $$ Notez que nous avons un facteur $ (2x + 4)^{\frac{3}{2}} $ au dénominateur. 4. **Lien entre les deux expressions :** L'expression au départ a le facteur $ (2x + 4)^{\frac{1}{2}} $ au numérateur et au dénominateur le facteur $ 2 (3 - x^{4})^{\frac{1}{2}} $. Dans l'expression finale, le facteur $ (2x + 4)^{\frac{1}{2}} $ s'est déplacé au dénominateur en s'ajoutant à la puissance de $ (2x + 4) $ passant de $ \frac{1}{2} $ à $ \frac{3}{2} $. Cela signifie que, durant la simplification, on a divisé et multiplié par $ (2x + 4) $, ce qui correspond à augmenter la puissance dans le dénominateur par $1$. 5. **Conclusion sur la multiplication et simplification :** - Le numérateur simplifié de la première expression est: $$ -6x^{4} - 16x^{3} - 6 $$ - Le dénominateur est enrichi par multiplication par $ (2x + 4)^{1} $ et reste: $$ 2(3 - x^{4})^{\frac{1}{2}} (2x + 4)^{\frac{3}{2}} $$ Ceci explique la transformation entre les deux expressions montrées. 6. **Interprétation pédagogique :** On simplifie d'abord les puissances dans le numérateur en regroupant les termes similaires puis on applique la règle des puissances pour déplacer les termes avec puissance $\frac{1}{2}$ du numérateur au dénominateur en ajustant l'exposant. **Réponse finale :** L'expression $$\frac{(2x + 4)^{\frac{1}{2}} (-8x^{4} - 16x^{3} - 6 + 2x^{4})}{2(3 - x^{4})^{\frac{1}{2}}}$$ peut être simplifiée en $$\frac{-6x^{4} - 16x^{3} - 6}{2(3 - x^{4})^{\frac{1}{2}} (2x + 4)^{\frac{3}{2}}}$$