1. Problema: Simplificar la expresión $\frac{(-4)^8}{(-4)^3}$ utilizando propiedades de la potenciación. Paso 1: Aplicar la propiedad $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. $$\frac{(-4)^8}{(-4)^3} = (-4)^{8-3} = (-4)^5$$ \ 2. Problema: Simplificar $\frac{[(-5)^4]^3}{(-5)^2 \cdot (-5)^6}$. Paso 1: Aplicar la propiedad $(a^m)^n = a^{mn}$ en el numerador: $$[(-5)^4]^3 = (-5)^{4 \times 3} = (-5)^{12}$$ Paso 2: Simplificar el denominador usando $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$(-5)^2 \cdot (-5)^6 = (-5)^{2+6} = (-5)^8$$ Paso 3: Dividir potencias con la misma base: $$\frac{(-5)^{12}}{(-5)^8} = (-5)^{12-8} = (-5)^4$$ \ 3. Problema: Simplificar $$\frac{[(-2)^3]^4 \cdot (2^2)^3 \cdot [(-3)^4]^3}{2^5 \cdot (-2)^5 \cdot (-3)^{12}}$$. Paso 1: Aplicar $(a^m)^n = a^{mn}$ en el numerador: $$[(-2)^3]^4 = (-2)^{12},\quad (2^2)^3 = 2^6,\quad [(-3)^4]^3 = (-3)^{12}$$ Paso 2: Reescribir la expresión: $$\frac{(-2)^{12} \cdot 2^6 \cdot (-3)^{12}}{2^5 \cdot (-2)^5 \cdot (-3)^{12}}$$ Paso 3: Simplificar las potencias divididas con la misma base: $$\frac{(-2)^{12}}{(-2)^5} = (-2)^{12-5} = (-2)^7$$ $$\frac{2^6}{2^5} = 2^{6-5} = 2^1 = 2$$ $$\frac{(-3)^{12}}{(-3)^{12}} = (-3)^0 = 1$$ Paso 4: Multiplicar los resultados: $$(-2)^7 \cdot 2 = (-2)^7 \cdot 2 = (-2)^7 \cdot 2 = (-2)^7 \cdot 2$$ (se puede expresar así para enfatizar el proceso) O más simplemente: $$(-2)^7 \cdot 2 = (-2)^7 \times 2 = (-2)^{7} \times 2$$ (ya está simplificado) \ 4. Problema: Simplificar $$\frac{(-5)^3 \cdot 4^6 \cdot (-5)^2}{4 \cdot (-5)^4}$$. Paso 1: Multiplicar potencias de la misma base en el numerador: $$(-5)^3 \cdot (-5)^2 = (-5)^{3+2} = (-5)^5$$ Paso 2: Reescribir la expresión: $$\frac{(-5)^5 \cdot 4^6}{4 \cdot (-5)^4}$$ Paso 3: Dividir potencias con la misma base: $$\frac{(-5)^5}{(-5)^4} = (-5)^{5-4} = (-5)^1 = -5$$ $$\frac{4^6}{4} = 4^{6-1} = 4^5$$ Paso 4: Multiplicar los resultados: $$-5 \times 4^5$$ \ 5. Problema: Simplificar $$\frac{(5^3)^2 \cdot 5^4 \cdot (5^4)^6}{5^7 \cdot (5^2)^5}$$. Paso 1: Aplicar propiedad de potencia de potencia: $$(5^3)^2 = 5^{3 \times 2} = 5^6, \quad (5^4)^6 = 5^{4 \times 6} = 5^{24}, \quad (5^2)^5 = 5^{2 \times 5} = 5^{10}$$ Paso 2: Reescribir la expresión: $$\frac{5^6 \cdot 5^4 \cdot 5^{24}}{5^7 \cdot 5^{10}}$$ Paso 3: Sumar exponentes en numerador y denominador: Numerador: $6 + 4 + 24 = 34$ Denominador: $7 + 10 = 17$ Paso 4: Dividir potencias con la misma base: $$5^{34 - 17} = 5^{17}$$ \ 6. Problema: Simplificar $$\frac{(-5)^6 \cdot 3^4 \cdot (-5) \cdot 3^5}{3^3 \cdot (-5)^3 \cdot (-5)^2}$$. Paso 1: Multiplicar potencias con la misma base en numerador y denominador: Numerador: $$(-5)^6 \cdot (-5)^1 = (-5)^{6+1} = (-5)^7$$ $$3^4 \cdot 3^5 = 3^{4+5} = 3^9$$ Denominador: $$(-5)^3 \cdot (-5)^2 = (-5)^{3+2} = (-5)^5$$ Paso 2: Reescribir la expresión: $$\frac{(-5)^7 \cdot 3^9}{3^3 \cdot (-5)^5}$$ Paso 3: Dividir potencias con la misma base: $$\frac{(-5)^7}{(-5)^5} = (-5)^{7-5} = (-5)^2$$ $$\frac{3^9}{3^3} = 3^{9-3} = 3^6$$ Paso 4: Multiplicar los resultados: $$(-5)^2 \cdot 3^6$$ Respuesta final: \begin{align*} &a. (-4)^5\\ &b. (-5)^4\\ &c. (-2)^7 \cdot 2\\ &d. -5 \cdot 4^5\\ &e. 5^{17}\\ &f. (-5)^2 \cdot 3^6 \end{align*}