1. مسئله: تعیین اعضای مجموعه‌های داده شده است. 2. مجموعه اول: $\{2^{xy} \mid x,y \in \mathbb{N}, x + y = 5\}$ - ابتدا مقادیر ممکن برای $x$ و $y$ را پیدا می‌کنیم که جمعشان 5 باشد. - چون $x,y \in \mathbb{N}$ (اعداد طبیعی)، مقادیر ممکن: $(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$. - حال برای هر جفت، مقدار $2^{xy}$ را محاسبه می‌کنیم: - $2^{1\times4} = 2^4 = 16$ - $2^{2\times3} = 2^6 = 64$ - $2^{3\times2} = 2^6 = 64$ - $2^{4\times1} = 2^4 = 16$ - اعضای مجموعه اول: $\{16, 64\}$ 3. مجموعه دوم: $\left\{ \frac{(-1)^x}{x^2 + x - 2x + 1} \mid x \in \mathbb{N}, x \leq 4 \right\}$ - ابتدا مخرج را ساده می‌کنیم: $$x^2 + x - 2x + 1 = x^2 - x + 1$$ - حال برای $x = 1, 2, 3, 4$ مقدار عبارت را محاسبه می‌کنیم: - $x=1$: $\frac{(-1)^1}{1^2 - 1 + 1} = \frac{-1}{1} = -1$ - $x=2$: $\frac{(-1)^2}{2^2 - 2 + 1} = \frac{1}{4 - 2 + 1} = \frac{1}{3}$ - $x=3$: $\frac{(-1)^3}{3^2 - 3 + 1} = \frac{-1}{9 - 3 + 1} = \frac{-1}{7}$ - $x=4$: $\frac{(-1)^4}{4^2 - 4 + 1} = \frac{1}{16 - 4 + 1} = \frac{1}{13}$ - اعضای مجموعه دوم: $\left\{-1, \frac{1}{3}, -\frac{1}{7}, \frac{1}{13}\right\}$ پاسخ نهایی: - مجموعه اول: $\{16, 64\}$ - مجموعه دوم: $\left\{-1, \frac{1}{3}, -\frac{1}{7}, \frac{1}{13}\right\}$