1. **بيان المسألة:** لدينا المتتالية \( (u_n) \) المعرفة ب \( u_0 = 3 \) و \( u_{n+1} = 3u_n - 2 \). المطلوب حساب الحدود \( u_1, u_2, u_3 \). 2. **حساب الحدود:** - \( u_1 = 3u_0 - 2 = 3 \times 3 - 2 = 9 - 2 = 7 \) - \( u_2 = 3u_1 - 2 = 3 \times 7 - 2 = 21 - 2 = 19 \) - \( u_3 = 3u_2 - 2 = 3 \times 19 - 2 = 57 - 2 = 55 \) 3. **تعريف المتتالية \( (v_n) \):** \( v_n = u_n - 1 \). 4. **إثبات العلاقة:** \[ v_{n+1} - 3v_n = (u_{n+1} - 1) - 3(u_n - 1) = u_{n+1} - 1 - 3u_n + 3 = (u_{n+1} - 3u_n) + 2 \] لكن من تعريف \( u_{n+1} = 3u_n - 2 \)، إذن: \[ u_{n+1} - 3v_n = (3u_n - 2 - 3u_n) + 2 = 0 \] 5. **استنتاج:** العلاقة \( v_{n+1} = 3v_n \) تعني أن \( (v_n) \) متتالية هندسية أساسها 3. 6. **صيغة الحد العام لـ \( v_n \):** \[ v_n = v_0 \times 3^n \] حيث \( v_0 = u_0 - 1 = 3 - 1 = 2 \)، إذن: \[ v_n = 2 \times 3^n \] 7. **صيغة الحد العام لـ \( u_n \):** \[ u_n = v_n + 1 = 2 \times 3^n + 1 \] 8. **تعريف مجموع الحدود:** \[ S_n = v_0 + v_1 + ... + v_n \] 9. **حساب \( S_n \):** مجموع متتالية هندسية: \[ S_n = v_0 \frac{3^{n+1} - 1}{3 - 1} = 2 \times \frac{3^{n+1} - 1}{2} = 3^{n+1} - 1 \] 10. **إثبات العلاقة:** \[ S_n + u_n = (3^{n+1} - 1) + (2 \times 3^n + 1) = 3^{n+1} + 2 \times 3^n = 3^n(3 + 2) = 5 \times 3^n \] 11. **تحديد \( n \) بحيث \( S_n + u_n = 405 \): \[ 5 \times 3^n = 405 \Rightarrow 3^n = \frac{405}{5} = 81 = 3^4 \] إذن \( n = 4 \). **النتيجة النهائية:** - \( u_1 = 7, u_2 = 19, u_3 = 55 \) - \( v_n = 2 \times 3^n \) متتالية هندسية أساسها 3 - \( u_n = 2 \times 3^n + 1 \) - \( S_n = 3^{n+1} - 1 \) - \( S_n + u_n = 5 \times 3^n \) - \( n = 4 \) عندما \( S_n + u_n = 405 \)