1. المشكلة هي إيجاد الرقم التالي في المتتالية: 3, 11, 32, 71, 136, 229, ? 2. نلاحظ أن الأرقام لا تتبع زيادة ثابتة، لذا سنحسب الفروق بين الأعداد المتتالية: 11 - 3 = 8 32 - 11 = 21 71 - 32 = 39 136 - 71 = 65 229 - 136 = 93 3. نلاحظ أن الفروق هي: 8, 21, 39, 65, 93 4. نحسب الفروق الثانية بين هذه القيم: 21 - 8 = 13 39 - 21 = 18 65 - 39 = 26 93 - 65 = 28 5. الفروق الثانية ليست ثابتة، لذا نحسب الفروق الثالثة: 18 - 13 = 5 26 - 18 = 8 28 - 26 = 2 6. الفروق الثالثة غير ثابتة أيضاً، لكن نلاحظ أن الفروق الأولى تزداد بشكل غير منتظم. 7. بدلاً من ذلك، نلاحظ أن الأعداد تبدو مرتبطة بتربيع الأعداد أو صيغة أخرى. 8. نلاحظ أن الأعداد تقارب الصيغة: $n^3 + 2n + 1$ حيث $n$ هو رقم الحد في المتتالية. نتحقق: للحد الأول ($n=1$): $1^3 + 2(1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$ (غير مطابق) للحد الثاني ($n=2$): $8 + 4 + 1 = 13$ (غير مطابق) 9. نبحث عن صيغة أخرى، نلاحظ أن الأعداد قريبة من مضاعفات معينة. 10. نعود للفروق الأولى: 8, 21, 39, 65, 93 نلاحظ أنها تزداد بزيادة غير منتظمة. 11. نلاحظ أن الفروق الأولى تزداد بمقدار: 21 - 8 = 13 39 - 21 = 18 65 - 39 = 26 93 - 65 = 28 12. نلاحظ أن الفروق الثانية تزداد بشكل غير منتظم، لكن يمكننا توقع أن الفرق التالي سيكون حوالي 35. 13. إذن الفرق التالي = 93 + 35 = 128 14. الرقم التالي في المتتالية = 229 + 128 = 357 15. إذن الرقم التالي هو 357 الجواب النهائي: 357