1. مسئله: داریم معادله $x^2 + 2x - 4 = 0$ که ریشه‌های آن $\alpha$ و $\beta$ هستند. می‌خواهیم معادله‌ای را پیدا کنیم که ریشه‌های آن $2\alpha$ و $2\beta$ باشد. 2. ابتدا رابطه‌های مربوط به ریشه‌ها از معادله اول را یادآوری می‌کنیم: $$\alpha + \beta = -2 \quad \text{و} \quad \alpha \beta = -4$$ 3. فرض کنیم معادله مورد نظر $x^2 + bx + c = 0$ باشد با ریشه‌های $2\alpha$ و $2\beta$. 4. مجموع ریشه‌های این معادله برابر است با: $$2\alpha + 2\beta = 2(\alpha + \beta) = 2 \times (-2) = -4$$ 5. حاصل‌ضرب ریشه‌ها نیز برابر است با: $$2\alpha \times 2\beta = 4 \alpha \beta = 4 \times (-4) = -16$$ 6. بر اساس فرمول معادله درجه دوم با ریشه‌های $r_1$ و $r_2$، معادله با ریشه‌های $2\alpha$ و $2\beta$ به صورت زیر خواهد بود: $$x^2 - (\text{مجموع ریشه‌ها}) x + \text{حاصل‌ضرب ریشه‌ها} = 0$$ یعنی: $$x^2 - (-4) x + (-16) = 0$$ یا به شکل ساده: $$x^2 + 4x - 16 = 0$$ 7. پس معادله شماره ۴ صحیح است. **پاسخ نهایی:** معادله $x^2 + 4x - 16 = 0$ ریشه‌های $2\alpha$ و $2\beta$ را دارد.