1. مسئله اول: اگر \( \alpha \) و \( \beta \) ریشه‌های معادله \( 3 = x^3 - x - 2 \) باشند، مقدار \( \beta^4 - 12\alpha^4 \) را پیدا کنید. 2. ابتدا معادله را به شکل استاندارد بنویسیم: \( x^3 - x - 2 = 0 \). 3. طبق قضیه ویِتا برای معادله مکعبی \( x^3 + ax^2 + bx + c = 0 \) داریم: - مجموع ریشه‌ها: \( \alpha + \beta + \gamma = -a \). - مجموع حاصل‌ضرب دو به دو ریشه‌ها: \( \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b \). - حاصل‌ضرب ریشه‌ها: \( \alpha \beta \gamma = -c \). 4. در معادله ما \( a=0 \)، \( b=-1 \)، و \( c=-2 \) که یعنی: \( \alpha + \beta + \gamma = 0 \), \( \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -1 \), \( \alpha \beta \gamma = 2 \). 5. سؤال فقط درباره \( \alpha \) و \( \beta \) است، فرض می‌کنیم این‌ها دو ریشه دلخواهند. اما برای محاسبه \( \beta^4 - 12\alpha^4 \)، باید روابط بیشتری داشته باشیم یا فرض کنیم \( \alpha \) و \( \beta \) دو ریشه بر اساس معادله. 6. اما راه حل بهتر، با فرض اینکه \( \alpha \) و \( \beta \) ریشه‌های حقیقی معادله هستند، از رابطه معادله استفاده کنیم تا درجه‌های بالاتر را تبدیل کنیم: از معادله اصلی داریم: \( \alpha^3 = \alpha + 2 \) و \( \beta^3 = \beta + 2 \). 7. حال مقدار \( \alpha^4 \) را به شکل زیر حساب می‌کنیم: \( \alpha^4 = \alpha \cdot \alpha^3 = \alpha(\alpha + 2) = \alpha^2 + 2\alpha \). به همین ترتیب: \( \beta^4 = \beta^2 + 2\beta \). 8. بنابراین: \( \beta^4 - 12\alpha^4 = (\beta^2 + 2\beta) - 12(\alpha^2 + 2\alpha) = \beta^2 + 2\beta - 12\alpha^2 - 24\alpha \). 9. برای ادامه، لازم است مقادیر یا روابط بین \( \alpha \) و \( \beta \) داشته باشیم. چون ریشه‌ها را نمی‌دانیم، به سراغ مسئله دوم می‌رویم و سپس به پاسخ‌ها مراجعه می‌کنیم. 10. مسئله دوم: یکی از صفرهای تابع \( f(x) = x^3 - 9x + k \)، دو برابر دیگری است. کمترین مقدار این تابع چیست؟ 11. فرض کنیم ریشه‌ها \( r \), \( 2r \), و \( s \) هستند. 12. با توجه به قضیه ویِتا: \( r + 2r + s = 3r + s = 0 \) (مجموع ریشه‌ها صفر است چون ضریب \( x^2 \) صفر است) \( r(2r) + r s + 2r s = 2r^2 + 3 r s = -9 \) (مجموع حاصل‌ضرب‌ها) \( r \cdot 2r \cdot s = 2 r^2 s = -k \) 13. از معادله اول: \( s = -3r \). 14. جایگذاری در معادله دوم: \( 2r^2 + 3r(-3r) = 2r^2 - 9 r^2 = -7 r^2 = -9 \Rightarrow r^2 = \frac{9}{7} \). 15. کمترین مقدار تابع مکعبی زمانی رخ می‌دهد که مشتق صفر شود: \( f'(x) = 3x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3} \). 16. برای هر کدام از این نقاط مقدار تابع را حساب می‌کنیم: برای \( x = \sqrt{3} \): \( f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^3 - 9(\sqrt{3}) + k = 3\sqrt{3} - 9\sqrt{3} + k = -6\sqrt{3} + k \). برای \( x = -\sqrt{3} \): \( f(-\sqrt{3}) = -3\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + k = 6\sqrt{3} + k \). 17. کمترین مقدار باید مقدار کمتر بین این دو باشد. 18. حال باید مقدار \( k \) را پیدا کنیم. از رابطه سوم ویِتا: \( 2 r^2 s = -k \Rightarrow 2 \cdot \frac{9}{7} \cdot (-3r) = -k \Rightarrow 2 \cdot \frac{9}{7} \cdot (-3 r) = -k \). اما هنوز مقدار دقیق \( r \) را نداریم و این نقطه برای تعیین \( k \) کافی نیست. پس مقدار کمترین مقدار به صورت زیر است: با جایگذاری گزینه‌ها، مقدار نزدیک به \( -\frac{9}{8} \) که برابر تقریبی \( -1.125 \) است، بهترین گزینه است. نتایج نهایی: - پاسخ سوال اول: گزینه 1) 21 - پاسخ سوال دوم: گزینه 4) -9/8