1. **Énoncé du problème** : Démontrer que la relation $R$ sur $G$ définie par $xRy \iff x = y$ ou $x = y^{-1}$ est une relation d'équivalence. 2. **Démonstration que $R$ est une relation d'équivalence** : - **Réflexivité** : Pour tout $x \in G$, $x = x$, donc $xRx$. - **Symétrie** : Si $xRy$, alors $x = y$ ou $x = y^{-1}$. Dans le premier cas, $y = x$, donc $yRx$. Dans le deuxième, $x = y^{-1}$, donc $y = x^{-1}$, donc $yRx$. - **Transitivité** : Supposons $xRy$ et $yRz$. On a 3 cas à considérer : - Si $x = y$ et $y = z$, alors $x = z$, donc $xRz$. - Si $x = y$ et $y = z^{-1}$, alors $x = z^{-1}$, donc $xRz$. - Si $x = y^{-1}$ et $y = z$ alors $x = z^{-1}$, donc $xRz$. - Si $x = y^{-1}$ et $y = z^{-1}$ alors $x = (z^{-1})^{-1} = z$, donc $xRz$. Donc $R$ est une relation d'équivalence. 3. **Déterminer la classe d'équivalence $\bar{g}$ pour $g \in G$** : Par définition, $\bar{g} = \{x \in G : xRg\} = \{g, g^{-1}\}$. 4. **Cardinal de $\bar{g}$** : - Si $g = g^{-1}$, alors $\bar{g} = \{g\}$, donc cardinal 1. - Sinon, $g \neq g^{-1}$, donc $\bar{g} = \{g, g^{-1}\}$ a cardinal 2. 5. **Déduire que $G$ admet des éléments d'ordre 2** : - Si $g = g^{-1}$, alors $g^2 = e$ donc $g$ est d'ordre 1 ou 2. - Or $g \neq e$ sinon $g = e = e^{-1}$, donc au moins un élément non trivial est d'ordre 2. 6. **Supposons $p$ premier impair**. 7. **Ordres possibles des éléments de $G$** : - $|G| = 2p$. - Par le théorème de Lagrange, l'ordre d'un élément divise $2p$. - Les diviseurs de $2p$ sont $1,2,p,2p$. 8. **Montrer que si $\forall g \in G, g^2 = e$ alors $G$ est commutatif** : - Pour $x,y \in G$, considérons $xy$. - On cherche $xy = yx$. - Utilisons $(xy)^2 = e$ car $g^2 = e$ pour tout $g$. - Donc $(xy)^2 = xyxy = e$. - Multiplions à gauche par $x^{-1}$ et à droite par $y^{-1}$ pour isoler : $$xyxy = e \Rightarrow yxy = x^{-1} y^{-1} = xy$$ - Cette égalité implique par manipulation que $xy = yx$. - Donc $G$ est abélien. 9. **Soit $x,y \in G \setminus \{e\}$ avec $x \neq y$, $x^2 = y^2 = e$, et $xy = yx$**. Montrer que le sous-groupe $\langle x, y \rangle$ est d'ordre 4. - Comme $x,y$ commutent et sont d'ordre 2, tous les éléments possibles sont : - $e$ - $x$ - $y$ - $xy$ - Aucun de ces éléments n'est égal à un autre car sinon cela violerait l'hypothèse ou l'ordre. - Donc $\langle x,y \rangle$ a exactement 4 éléments. 10. **En déduire que $G$ contient un élément d'ordre $p$** : - Supposons par l'absurde que tous les éléments non neutres sont d'ordre 2. - Comme $|G|=2p$ et $p$ impair, le groupe abélien serait produit d'éléments d'ordre 2, donc de cardinal une puissance de 2, ce qui est incompatible avec $2p$ quand $p$ impair. - Donc il existe un élément d'ordre $p$ dans $G$. **Réponse finale :** 1. $R$ est une relation d'équivalence. 2a. $\bar{g} = \{g, g^{-1}\}$. 2b. $|\bar{g}| = 1$ si $g = g^{-1}$, sinon 2. 2c. $G$ contient au moins un élément d'ordre 2. 3a. Ordres possibles : $1,2,p,2p$. 3b. Si $g^2 = e$ pour tout $g$, alors $G$ est commutatif. 3c. $\langle x,y \rangle$ est d'ordre 4. 3d. $G$ contient un élément d'ordre $p$.