1. مسئله: باید مقدارهایی از $m$ را پیدا کنیم که معادله $$2 = m^2 + 3x + m x^2$$ ریشه‌های حقیقی داشته باشد که معکوس یکدیگر باشند. 2. ابتدا معادله را به شکل استاندارد معادله درجه دو بر حسب $x$ بازنویسی می‌کنیم: $$m x^2 + 3x + (m^2 - 2) = 0$$ 3. ریشه‌های معادله درجه دوم $ax^2 + bx + c = 0$، معکوس یکدیگر هستند اگر حاصل‌ضرب ریشه‌ها برابر 1 باشد: $$rac{c}{a} = 1$$ 4. در معادله ما: $$a = m, \quad b = 3, \quad c = m^2 - 2$$ 5. شرط حاصل‌ضرب ریشه‌ها: $$\frac{m^2 - 2}{m} = 1$$ 6. معادله را حل می‌کنیم: $$m^2 - 2 = m$$ $$m^2 - m - 2 = 0$$ 7. معادله درجه دو را حل می‌کنیم: $$m = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ 8. دو جواب می‌گیریم: $$m = 2 \quad \text{یا} \quad m = -1$$ 9. اکنون بررسی می‌کنیم هر یک از این مقادیر باعث ریشه‌های حقیقی شوند. شرط دیگری برای ریشه‌های حقیقی، این است که دلتا مثبت باشد: $$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \times m \times (m^2 - 2) = 9 - 4m^3 + 8 m$$ 10. بررسی دلتا برای $m=2$: $$9 - 4(8) + 8(2) = 9 - 32 + 16 = -7 < 0$$ ریشه‌ها موهومی هستند. 11. بررسی دلتا برای $m=-1$: $$9 - 4(-1)^3 + 8(-1) = 9 - (-4) - 8 = 9 + 4 - 8 = 5 > 0$$ ریشه‌ها حقیقی هستند. نتیجه: تنها $m = -1$ شرایط را کامل می‌کند. پاسخ صحیح گزینه ۲ است.