1. Planteamos el problema: En una progresión geométrica (PG), la suma de los 6 primeros términos es 28 veces la suma de los 3 primeros términos. Debemos encontrar la razón $r$ de la PG. 2. Recordemos la fórmula para la suma de los primeros $n$ términos de una PG con primer término $a$ y razón $r$: $$S_n = a \frac{1-r^n}{1-r}$$ 3. Según el problema: $$S_6 = 28 S_3$$ 4. Usamos la fórmula para cada suma: $$a \frac{1-r^6}{1-r} = 28 \times a \frac{1-r^3}{1-r}$$ 5. Simplificamos $a$ y $1-r$ (asumiendo $r \neq 1$): $$1-r^6 = 28(1-r^3)$$ 6. Expandimos y reordenamos: $$1 - r^6 = 28 - 28 r^3$$ 7. Pasamos todos los términos a un lado: $$1 - r^6 - 28 + 28 r^3 = 0$$ 8. Simplificamos: $$-r^6 + 28 r^3 - 27 = 0$$ 9. Multiplicamos por $-1$ para facilitar: $$r^6 - 28 r^3 + 27 = 0$$ 10. Hacemos el cambio de variable $x = r^3$: $$x^2 - 28 x + 27 = 0$$ 11. Resolvemos la ecuación cuadrática: $$x = \frac{28 \pm \sqrt{28^2 - 4 \times 27}}{2} = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 108}}{2} = \frac{28 \pm \sqrt{676}}{2} = \frac{28 \pm 26}{2}$$ 12. Dos soluciones para $x$: - $x_1 = \frac{28 + 26}{2} = 27$ - $x_2 = \frac{28 - 26}{2} = 1$ 13. Recordando que $x = r^3$, entonces: - $r^3 = 27 \Rightarrow r = 3$ - $r^3 = 1 \Rightarrow r = 1$ 14. La razón $r=1$ no es válida porque la fórmula de suma no se aplica para $r=1$ y no cumpliría la condición del problema. 15. Por lo tanto, la razón de la progresión geométrica es: $$\boxed{3}$$