1. Planteamos el problema: calcular las raíces indicadas de los productos dados. 2. Recordemos la propiedad de las raíces y potencias: $$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$$ donde $n$ es el índice de la raíz y $m$ el exponente. 3. Calculamos cada expresión: - Para $$\sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 5}$$ (raíz cuadrada, índice 2): $$= (2^2)^{\frac{1}{2}} \cdot (3^4)^{\frac{1}{2}} \cdot (5^1)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{2}{2}} \cdot 3^{\frac{4}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^{0.5} = 2 \cdot 9 \cdot \sqrt{5} = 18\sqrt{5}$$ - Para $$\sqrt[3]{2 \cdot 3 \cdot 5^4}$$ (raíz cúbica, índice 3): $$= 2^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot 5^{1 + \frac{1}{3}} = 5 \cdot 5^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[3]{6} = 5 \cdot \sqrt[3]{30}$$ - Para $$\sqrt[7]{2 \cdot 3 \cdot 5^2}$$ (raíz séptima, índice 7): $$= 2^{\frac{1}{7}} \cdot 3^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} = \sqrt[7]{2} \cdot \sqrt[7]{3} \cdot \sqrt[7]{5^2} = \sqrt[7]{2 \cdot 3 \cdot 5^2}$$ (ya está simplificado) - Para $$\sqrt[8]{2 \cdot 3 \cdot 5}$$ (raíz octava, índice 8): $$= 2^{\frac{1}{8}} \cdot 3^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}} = \sqrt[8]{2 \cdot 3 \cdot 5}$$ (ya está simplificado) 4. Resumen final: - $$\sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 5} = 18\sqrt{5}$$ - $$\sqrt[3]{2 \cdot 3 \cdot 5^4} = 5 \sqrt[3]{30}$$ - $$\sqrt[7]{2 \cdot 3 \cdot 5^2} = \sqrt[7]{2 \cdot 3 \cdot 5^2}$$ - $$\sqrt[8]{2 \cdot 3 \cdot 5} = \sqrt[8]{2 \cdot 3 \cdot 5}$$