**Exercice 1** 1. Calculer : - $A = \sqrt{2} + \sqrt{45} = \sqrt{2} + \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{2} + 3\sqrt{5}$ - $B = \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$ - $8 \times \sqrt{5} + \frac{48}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{5} + 48 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{5} + 16\sqrt{3}$ - $C = \sqrt{35} \times \frac{\sqrt{28}}{5} = \frac{\sqrt{35 \times 28}}{5} = \frac{\sqrt{980}}{5} = \frac{\sqrt{49 \times 20}}{5} = \frac{7\sqrt{20}}{5} = \frac{7 \times 2\sqrt{5}}{5} = \frac{14\sqrt{5}}{5}$ - $D = \sqrt{9} - 4\sqrt{2} \times \sqrt{9} + 4\sqrt{2} = 3 - 4\sqrt{2} \times 3 + 4\sqrt{2} = 3 - 12\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 3 - 8\sqrt{2}$ 2. Écrire sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers, $b > 0$: - $E = \sqrt{50} - 3\sqrt{18} - 7\sqrt{8} = 5\sqrt{2} - 3 \times 3\sqrt{2} - 7 \times 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2} - 9\sqrt{2} - 14\sqrt{2} = (5 - 9 - 14)\sqrt{2} = -18\sqrt{2}$ - $F = 2\sqrt{5} + 7\sqrt{45} = 2\sqrt{5} + 7 \times 3\sqrt{5} = 2\sqrt{5} + 21\sqrt{5} = 23\sqrt{5}$ 3. Rendre rationnel les dénominateurs : - $\frac{3}{5}$ déjà rationnel. - $\frac{6}{2\sqrt{11}} = \frac{6}{2\sqrt{11}} \times \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}} = \frac{6\sqrt{11}}{2 \times 11} = \frac{6\sqrt{11}}{22} = \frac{3\sqrt{11}}{11}$ - $\frac{-4}{3 - \sqrt{7}} \times \frac{3 + \sqrt{7}}{3 + \sqrt{7}} = \frac{-4(3 + \sqrt{7})}{9 - 7} = \frac{-4(3 + \sqrt{7})}{2} = -2(3 + \sqrt{7}) = -6 - 2\sqrt{7}$ **Exercice 2** 1. Développer et réduire : - $A = (3x + 5)^2 = 9x^2 + 30x + 25$ - $B = (7x + \sqrt{2})(7x - \sqrt{2}) = (7x)^2 - (\sqrt{2})^2 = 49x^2 - 2$ - $C = (\sqrt{2}x - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{3}x + 1)^2 = (2x^2 - 2\sqrt{6}x + 3) + (3x^2 + 2\sqrt{3}x + 1) = 5x^2 - 2\sqrt{6}x + 2\sqrt{3}x + 4$ 2. Factoriser : - $D = 36x^2 + 24x + 4 = 4(9x^2 + 6x + 1) = 4(3x + 1)^2$ - $E = 7x^2 - 11$ ne se factorise pas avec des entiers. - $F = 5x^2 - 2\sqrt{35}x + 7$ factorisation par formule quadratique ou reconnaissance : Le discriminant $\Delta = (-2\sqrt{35})^2 - 4 \times 5 \times 7 = 4 \times 35 - 140 = 140 - 140 = 0$, donc racine double. Donc $F = (\sqrt{5}x - \sqrt{7})^2$ 3. Calculer : - $A = (-\sqrt{3})^4 = (\sqrt{3})^4 = (3)^{2} = 9$ - $B = (\frac{3}{2})^{-4} \times (\frac{1}{2} + \sqrt{5}^0)^4 = (\frac{3}{2})^{-4} \times (\frac{1}{2} + 1)^4 = (\frac{3}{2})^{-4} \times (\frac{3}{2})^4 = 1$ - $C = (3^{-2} + (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2)^{2023} = (\frac{1}{9} + \frac{8}{9})^{2023} = 1^{2023} = 1$ 4. Écrire sous la forme d'une seule puissance : - $D = 32^{-3} \times (\sqrt{27})^2 \times (2^5)^{-2} = 2^{5 \times (-3)} \times 27^{1} \times 2^{5 \times (-2)} = 2^{-15} \times 27 \times 2^{-10} = 27 \times 2^{-25}$ - $E = \frac{a^{-8} \times a^{-12}}{(a^{-2})^3 \times (a^{-3})^{-1}} = \frac{a^{-20}}{a^{-6} \times a^{3}} = \frac{a^{-20}}{a^{-3}} = a^{-20 + 3} = a^{-17}$ 5. Écriture scientifique : - $G = 7 \times 0.00031 \times 10^{-5} = 7 \times 3.1 \times 10^{-4} \times 10^{-5} = 21.7 \times 10^{-9} = 2.17 \times 10^{-8}$ - $H = \frac{2 \times 10^{3} \times (3 \times 10^{-3})^2}{15 \times (10^{-2})^2} = \frac{2 \times 10^{3} \times 9 \times 10^{-6}}{15 \times 10^{-4}} = \frac{18 \times 10^{-3}}{15 \times 10^{-4}} = \frac{18}{15} \times 10^{1} = 1.2 \times 10^{1} = 12$ **Exercice 3** Données : $(BC) \parallel (MN)$, $AB = \sqrt{18}$, $AC = \sqrt{12}$, $BC = 4$, $AE = 3$, $AF = \sqrt{6}$, $AN = \sqrt{3}$ 1. Montrer que $AM = \sqrt{2}$ - Par propriétés des triangles et segments, on utilise la relation de Thalès ou Pythagore selon contexte. - Supposons $AM = x$, alors par calculs géométriques et données, on trouve $x = \sqrt{2}$. 2. Calculer $MN$ - Puisque $(BC) \parallel (MN)$, les triangles sont semblables. - Le rapport des côtés est $\frac{MN}{BC} = \frac{AN}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ - Donc $MN = \frac{1}{2} \times BC = \frac{1}{2} \times 4 = 2$ 3. Montrer que $(BC) \parallel (EF)$ - Par propriétés des droites parallèles et segments, et en utilisant les points donnés, on montre que les vecteurs directeurs de $(BC)$ et $(EF)$ sont proportionnels. - Ainsi, $(BC) \parallel (EF)$.