1. مسئله: مقدار عبارت $$\sqrt[7]{\sqrt{13} + \sqrt{5}} \times \sqrt[7]{18 - 7 \sqrt{5}}$$ را بیابید. 2. قانون استفاده شده: ضرب دو رادیکال با ریشه هفتم برابر است با رادیکال هفتم حاصل‌ضرب دو عبارت داخل رادیکال‌ها: $$\sqrt[7]{a} \times \sqrt[7]{b} = \sqrt[7]{a \times b}$$ 3. ابتدا عبارت داخل رادیکال‌ها را ضرب می‌کنیم: $$\left(\sqrt{13} + \sqrt{5}\right) \times \left(18 - 7 \sqrt{5}\right)$$ 4. ضرب را باز می‌کنیم: $$= 18 \sqrt{13} + 18 \sqrt{5} - 7 \sqrt{5} \sqrt{13} - 7 \sqrt{5} \times \sqrt{5}$$ 5. توجه کنید که: $$\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5$$ 6. همچنین: $$\sqrt{5} \times \sqrt{13} = \sqrt{65}$$ 7. پس عبارت به صورت زیر می‌شود: $$= 18 \sqrt{13} + 18 \sqrt{5} - 7 \sqrt{65} - 7 \times 5$$ $$= 18 \sqrt{13} + 18 \sqrt{5} - 7 \sqrt{65} - 35$$ 8. حال باید بررسی کنیم آیا این عبارت قابل ساده شدن است یا خیر. اما چون این عبارت پیچیده است، بهتر است به صورت عددی مقدار آن را بررسی کنیم: - مقدار تقریبی $$\sqrt{13} \approx 3.6055$$ - مقدار تقریبی $$\sqrt{5} \approx 2.2361$$ - مقدار تقریبی $$\sqrt{65} \approx 8.0623$$ 9. جایگذاری عددی: $$18 \times 3.6055 = 64.899$$ $$18 \times 2.2361 = 40.25$$ $$7 \times 8.0623 = 56.436$$ 10. پس: $$64.899 + 40.25 - 56.436 - 35 = 13.713$$ 11. بنابراین: $$\sqrt[7]{\sqrt{13} + \sqrt{5}} \times \sqrt[7]{18 - 7 \sqrt{5}} = \sqrt[7]{13.713}$$ 12. مقدار تقریبی ریشه هفتم 13.713 را محاسبه می‌کنیم: $$13.713^{\frac{1}{7}} \approx 1.5$$ 13. نتیجه نهایی: $$\boxed{1.5}$$