1. **Énoncé du problème :** On considère le polynôme $R(x) = x^3 - 5x^2 + 8x - 4$. 1.2.1. Vérifier que 1 est racine de $R$. 1.2.2. Trouver un polynôme $R_1$ de degré 2 tel que $R(x) = (x-1)R_1(x)$. 1.2.3. En déduire que 2 est aussi racine de $R$. --- 2. **Vérification que 1 est racine de $R$ :** On calcule $R(1)$ : $$R(1) = 1^3 - 5 \times 1^2 + 8 \times 1 - 4 = 1 - 5 + 8 - 4 = 0.$$ Donc, 1 est bien racine de $R$. --- 3. **Décomposition de $R$ par division euclidienne :** On divise $R(x)$ par $(x-1)$ pour trouver $R_1(x)$. Division polynomiale : - $x^3 \div x = x^2$, on multiplie $(x-1)$ par $x^2$ : $x^3 - x^2$. - Soustraction : $(x^3 - 5x^2) - (x^3 - x^2) = -4x^2$. - On descend le terme suivant : $+8x$. - $-4x^2 \div x = -4x$, on multiplie $(x-1)$ par $-4x$ : $-4x^2 + 4x$. - Soustraction : $(-4x^2 + 8x) - (-4x^2 + 4x) = 4x$. - On descend le terme suivant : $-4$. - $4x \div x = 4$, on multiplie $(x-1)$ par $4$ : $4x - 4$. - Soustraction : $(4x - 4) - (4x - 4) = 0$. Le quotient est donc : $$R_1(x) = x^2 - 4x + 4.$$ --- 4. **Factorisation de $R_1$ :** $$R_1(x) = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2.$$ --- 5. **Conclusion sur les racines de $R$ :** Puisque $R(x) = (x - 1)(x - 2)^2$, les racines de $R$ sont $1$ et $2$ (avec multiplicité 2). Donc, 2 est aussi racine de $R$. --- **Réponse finale :** - $1$ est racine de $R$. - $R_1(x) = x^2 - 4x + 4$. - $2$ est racine de $R$.