1. **Problem:** Löse die quadratische Gleichung grafisch mit Hilfe der Normalparabel und einer Geraden. **a)** Gegeben: $x^2 - 0{,}5x - 0{,}5 = 0$ oder umgeformt $x^2 = 0{,}5x + 0{,}5$ - Normalparabel: $f(x) = x^2$ - Gerade: $g(x) = 0{,}5x + 0{,}5$ **Schritte:** 1. Zeichne $f(x) = x^2$ (Parabel mit Scheitelpunkt bei $(0,0)$). 2. Zeichne $g(x) = 0{,}5x + 0{,}5$ (lineare Funktion). 3. Schnittpunkte sind Lösungen der Gleichung $x^2 = 0{,}5x + 0{,}5$. **Löse die Gleichung algebraisch:** $$x^2 - 0{,}5x - 0{,}5 = 0$$ Verwende die Mitternachtsformel: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ mit $a=1$, $b=-0{,}5$, $c=-0{,}5$: $$x = \frac{-(-0{,}5) \pm \sqrt{(-0{,}5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0{,}5)}}{2 \cdot 1} = \frac{0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 + 2}}{2} = \frac{0{,}5 \pm \sqrt{2{,}25}}{2}$$ $$= \frac{0{,}5 \pm 1{,}5}{2}$$ Also: - $x_1 = \frac{0{,}5 + 1{,}5}{2} = 1$ - $x_2 = \frac{0{,}5 - 1{,}5}{2} = -0{,}5$ **Antwort:** $x_1 = 1$; $x_2 = -0{,}5$ --- **b)** Gegeben: $2x^2 + x - 3 = 0$ Umformen zu Normalparabel und Gerade: $$2x^2 + x - 3 = 0 \Rightarrow 2x^2 = -x + 3 \Rightarrow x^2 = \frac{-x + 3}{2} = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$$ - Normalparabel: $f(x) = x^2$ - Gerade: $g(x) = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ **Löse die Gleichung algebraisch:** $$2x^2 + x - 3 = 0$$ Mitternachtsformel mit $a=2$, $b=1$, $c=-3$: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4}$$ Also: - $x_1 = \frac{-1 + 5}{4} = 1$ - $x_2 = \frac{-1 - 5}{4} = -1{,}5$ **Antwort:** $x_1 = 1$; $x_2 = -1{,}5$ --- 2. **Problem:** Ordne die Funktionsgleichungen ihren Graphen und Nullstellen zu und notiere die quadratische Gleichung. - A: $f(x) = (x - 1)^2 - 4$ hat Nullstellen bei $x_1 = -1$, $x_2 = 3$. Quadratische Form: $$ (x - 1)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x - 1)^2 = 4 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0$$ - B: $f(x) = (x + 2)^2 - 1$ hat keine Nullstellen (da Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse, aber laut Beschreibung keine Nullstellen). - C: $f(x) = -0{,}5 (x + 2)^2$ hat Nullstellen bei $x_1 = -3$, $x_2 = -1$. Quadratische Form: $$-0{,}5 (x + 2)^2 = 0 \Rightarrow (x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2$$ Da Nullstellen bei $-3$ und $-1$ angegeben sind, vermutlich Fehler in Beschreibung, aber wir nehmen an: Entfaltet: $$f(x) = -0{,}5 (x^2 + 4x + 4) = -0{,}5x^2 - 2x - 2$$ Setze $f(x) = 0$: $$-0{,}5x^2 - 2x - 2 = 0 \Rightarrow 0{,}5x^2 + 2x + 2 = 0$$ - D: $f(x) = (x - 1)^2 + 1$ hat keine Nullstellen, da Scheitelpunkt bei $(1,1)$ oberhalb der x-Achse. **Antwort:** - A: $x^2 - 2x - 3 = 0$ - B: $(x + 2)^2 - 1$ (keine Nullstellen) - C: $-0{,}5x^2 - 2x - 2 = 0$ - D: $(x - 1)^2 + 1$ (keine Nullstellen) --- 4. **Problem:** Analyse der Halfpipe-Funktion $f(x) = 0{,}2 (x - 4)^2 - 1{,}2$ - Ablesbare Punkte: $N(6{,}45 | 0)$ (Schnittpunkt mit x-Achse) - Schnittpunkt mit der x-Achse: $f(x) = 0$ $$0 = 0{,}2 (x - 4)^2 - 1{,}2 \Rightarrow 0{,}2 (x - 4)^2 = 1{,}2 \Rightarrow (x - 4)^2 = \frac{1{,}2}{0{,}2} = 6$$ $$x - 4 = \pm \sqrt{6} \approx \pm 2{,}45$$ $$x_1 = 4 - 2{,}45 = 1{,}55, \quad x_2 = 4 + 2{,}45 = 6{,}45$$ - Tiefster Punkt (Scheitelpunkt): $(4, -1{,}2)$ - Schnittpunkt mit y-Achse: Setze $x=0$ $$f(0) = 0{,}2 (0 - 4)^2 - 1{,}2 = 0{,}2 imes 16 - 1{,}2 = 3{,}2 - 1{,}2 = 2$$ - Bedeutung der Punkte: - Startpunkt $P$: $f(0) = 2$ m über Bodenniveau - Tiefster Punkt: $-1{,}2$ m unter Bodenniveau - Horizontale Entfernung zwischen Startpunkt und Endpunkt auf Bodenniveau: $$6{,}45 - 0 = 6{,}45 ext{ m}$$ **Antworten:** - Schnittpunkt mit x-Achse: $x = 1{,}55$ und $x = 6{,}45$ - Tiefster Punkt: $(4, -1{,}2)$ - Schnittpunkt mit y-Achse: $(0, 2)$ - Startpunkt $P$: 2 m über Bodenniveau - Tiefster Punkt: 1,20 m unter Bodenniveau - Horizontale Entfernung zwischen Start- und Endpunkt: 6,45 m