1. مسئله را بیان می‌کنیم: معادله درجه دوم $$(m - 2)x^2 + r m x + r^2 = 0$$ را داریم و می‌خواهیم مقادیر $m$ را پیدا کنیم که این معادله دو ریشه مثبت داشته باشد. 2. فرمول کلی معادله درجه دوم: برای معادله $$ax^2 + bx + c = 0$$ ریشه‌ها با فرمول $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ محاسبه می‌شوند. 3. شرایط داشتن دو ریشه مثبت: - دلتا (مقدار زیر رادیکال) باید مثبت باشد: $$\Delta = b^2 - 4ac > 0$$ - هر دو ریشه باید مثبت باشند. برای این کار: - $$a = m - 2 > 0 \Rightarrow m > 2$$ - $$c = r^2 > 0$$ (همیشه مثبت است چون مربع است) - مجموع ریشه‌ها $$-\frac{b}{a} = -\frac{r m}{m - 2} > 0$$ - حاصلضرب ریشه‌ها $$\frac{c}{a} = \frac{r^2}{m - 2} > 0$$ 4. بررسی دلتا: $$\Delta = (r m)^2 - 4 (m - 2) r^2 = r^2 m^2 - 4 r^2 (m - 2) = r^2 (m^2 - 4m + 8)$$ چون $$r^2 > 0$$، شرط دلتا مثبت می‌شود: $$m^2 - 4m + 8 > 0$$ این عبارت همیشه مثبت است چون دلتا این عبارت $$16 - 32 = -16 < 0$$ است و تابع درجه دوم رو به بالا است. 5. شرط مجموع ریشه‌ها مثبت: $$-\frac{r m}{m - 2} > 0$$ با توجه به $$r > 0$$ (فرض می‌کنیم مثبت است چون در غیر این صورت ریشه‌ها پیچیده می‌شوند)، این شرط می‌شود: $$-\frac{m}{m - 2} > 0$$ 6. بررسی علامت عبارت: - اگر $$m > 2$$، مخرج مثبت است، پس صورت باید منفی باشد تا کسر منفی شود، یعنی $$m < 0$$ که تناقض است. - اگر $$m < 2$$، مخرج منفی است، پس صورت باید مثبت باشد $$m > 0$$ تا کسر منفی شود. پس شرط مجموع ریشه‌ها مثبت نمی‌تواند همزمان با $$m > 2$$ برقرار باشد. 7. شرط حاصلضرب ریشه‌ها مثبت: $$\frac{r^2}{m - 2} > 0$$ چون $$r^2 > 0$$، پس: $$m - 2 > 0 \Rightarrow m > 2$$ 8. نتیجه‌گیری: - برای داشتن دو ریشه مثبت، باید $$m > 2$$ باشد (از شرط حاصلضرب ریشه‌ها) - اما شرط مجموع ریشه‌ها مثبت با $$m > 2$$ سازگار نیست. بنابراین، معادله داده شده هیچ مقدار $m$ ندارد که دو ریشه مثبت داشته باشد. پاسخ نهایی: هیچ مقدار $m$ وجود ندارد که معادله دو ریشه مثبت داشته باشد.