1. **প্রশ্ন:** ax^2 + (a^2 + 1)x + a রাশিকে উৎপাদক বিশ্লেষণ কর। 2. **ফর্মুলা:** একটি দ্বিঘাত রাশির উৎপাদক বিশ্লেষণের জন্য আমরা ব্যবহার করি মূল সূত্র $$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$ যেখানে $x_1$ এবং $x_2$ হলো মূলদ্বয়। 3. **উৎপাদক বিশ্লেষণ:** এখানে, $a = a$, $b = a^2 + 1$, $c = a$। মূলদ্বয় নির্ণয়ের জন্য ব্যবহার করি: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(a^2 + 1) \pm \sqrt{(a^2 + 1)^2 - 4a^2}}{2a}$$ 4. **সরলীকরণ:** $$\sqrt{(a^2 + 1)^2 - 4a^2} = \sqrt{a^4 + 2a^2 + 1 - 4a^2} = \sqrt{a^4 - 2a^2 + 1} = \sqrt{(a^2 - 1)^2} = |a^2 - 1|$$ 5. **মূলদ্বয়:** $$x = \frac{-(a^2 + 1) \pm |a^2 - 1|}{2a}$$ দুটি ক্ষেত্রায়: - যদি $a^2 - 1 \geq 0$, অর্থাৎ $|a| \geq 1$, $$x_1 = \frac{-(a^2 + 1) + (a^2 - 1)}{2a} = \frac{-2}{2a} = -\frac{1}{a}$$ $$x_2 = \frac{-(a^2 + 1) - (a^2 - 1)}{2a} = \frac{-2a^2}{2a} = -a$$ - যদি $a^2 - 1 < 0$, অর্থাৎ $|a| < 1$, $$x_1 = \frac{-(a^2 + 1) + (1 - a^2)}{2a} = 0$$ $$x_2 = \frac{-(a^2 + 1) - (1 - a^2)}{2a} = \frac{-2}{2a} = -\frac{1}{a}$$ 6. **অতএব উৎপাদক:** - যদি $|a| \geq 1$, $$ax^2 + (a^2 + 1)x + a = a(x + \frac{1}{a})(x + a) = (ax + 1)(x + a)$$ - যদি $|a| < 1$, $$ax^2 + (a^2 + 1)x + a = a x (x + \frac{1}{a}) = a x (x + \frac{1}{a})$$ 7. **দ্বিতীয় প্রশ্ন:** Q = 0 হলে, $9x^2 + \frac{144}{x}$ এর মান নির্ণয় কর। Q হলো $3x^2 + 20x + 12 = 0$। 8. **Q=0 থেকে $x$ এর মান:** $$3x^2 + 20x + 12 = 0$$ $$x = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4 \times 3 \times 12}}{2 \times 3} = \frac{-20 \pm \sqrt{400 - 144}}{6} = \frac{-20 \pm \sqrt{256}}{6} = \frac{-20 \pm 16}{6}$$ তাই, $$x_1 = \frac{-20 + 16}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$ $$x_2 = \frac{-20 - 16}{6} = \frac{-36}{6} = -6$$ 9. **$9x^2 + \frac{144}{x}$ এর মান:** - যখন $x = -\frac{2}{3}$, $$9x^2 + \frac{144}{x} = 9 \times \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + \frac{144}{-\frac{2}{3}} = 9 \times \frac{4}{9} - 144 \times \frac{3}{2} = 4 - 216 = -212$$ - যখন $x = -6$, $$9x^2 + \frac{144}{x} = 9 \times 36 + \frac{144}{-6} = 324 - 24 = 300$$ 10. **তৃতীয় প্রশ্ন:** P, Q, R এর ল. সা. গু. নির্ণয় কর। P = $3x^2 - 16x - 12$, Q = $3x^2 + 20x + 12$, R = $3x^2 - x - 2$ 11. **প্রথমে প্রতিটি রাশির উৎপাদক বিশ্লেষণ:** - P: $$3x^2 - 16x - 12 = 3x^2 - 18x + 2x - 12 = 3x(x - 6) + 2(x - 6) = (3x + 2)(x - 6)$$ - Q: $$3x^2 + 20x + 12 = 3x^2 + 18x + 2x + 12 = 3x(x + 6) + 2(x + 6) = (3x + 2)(x + 6)$$ - R: $$3x^2 - x - 2 = 3x^2 - 3x + 2x - 2 = 3x(x - 1) + 2(x - 1) = (3x + 2)(x - 1)$$ 12. **ল. সা. গু. (LCM) নির্ণয়:** সাধারণ গুণকগুলো হলো $(3x + 2)$ এবং $(x - 6)$, $(x + 6)$, $(x - 1)$ আলাদা। তাই, $$\text{LCM} = (3x + 2)(x - 6)(x + 6)(x - 1)$$ 13. **উত্তর:** - (ক) উৎপাদক: $ax^2 + (a^2 + 1)x + a = (ax + 1)(x + a)$ যদি $|a| \geq 1$ অথবা $a x (x + \frac{1}{a})$ যদি $|a| < 1$ - (খ) $9x^2 + \frac{144}{x}$ এর মান $x = -\frac{2}{3}$ এর জন্য $-212$, $x = -6$ এর জন্য $300$ - (গ) P, Q, R এর ল. সা. গু. $= (3x + 2)(x - 6)(x + 6)(x - 1)$