1. مسئله را بیان می‌کنیم: دو تابع $$f(x) = 3x + 1 + |ax - 1|$$ و $$g(x) = |ax + 1|(bx + 1)$$ اکیدا پیوسته هستند و می‌خواهیم مقادیر صحیح ممکن برای $a + b$ را پیدا کنیم، همچنین $a \neq 0$ است. 2. بررسی پیوستگی تابع $f(x)$: تابع مؤلفه $3x+1$ پیوسته است. قسمت چالشی پیوستگی، قدرمطلق $|ax - 1|$ است که ممکن است در نقطه‌ای که داخل قدرمطلق صفر می‌شود ناپیوسته شود؛ یعنی در نقطه $x_0$ که: $$ax_0 - 1 = 0 \implies x_0 = \frac{1}{a}$$ 3. تابع $f$ باید در $x_0$ پیوسته باشد، پس حد چپ و راست و مقدار تابع در $x_0$ باید مساوی باشند. مقدار تابع در $x_0$: $$f\left(\frac{1}{a}\right) = 3 \cdot \frac{1}{a} + 1 + |a \cdot \frac{1}{a} - 1| = \frac{3}{a} + 1 + |1 - 1| = \frac{3}{a} + 1 + 0 = \frac{3}{a} + 1$$ حد چپ $x \to \frac{1}{a}^-$: وقتی $x < \frac{1}{a}$ و چون $a \neq 0$، علامت $(ax - 1)$ به علامت $a$ بستگی دارد: - اگر $a > 0$, آنگاه برای $x < \frac{1}{a}$ داریم $ax - 1 < 0$ پس: $$|ax - 1| = -(ax - 1) = 1 - ax$$ حد چپ: $$\lim_{x \to \frac{1}{a}^-} f(x) = 3x + 1 + 1 - ax = 3x + 2 - ax$$ جایگذاری $x = \frac{1}{a}$: $$3 \cdot \frac{1}{a} + 2 - a \cdot \frac{1}{a} = \frac{3}{a} + 2 - 1 = \frac{3}{a} + 1$$ - اگر $a < 0$, برای $x < \frac{1}{a}$ داریم $ax - 1 > 0$ (چون $a<0$ و $x < \frac{1}{a}$ یعنی $x$ بزرگتر از عددی منفی کمتر از $1/a$ نیست، پس بهتر است این حالت جداگانه بررسی شود، اما نتیجه اصلی این است که پیوستگی برقرار است چون مقدار تابع جایگذاری شده برابر حد است. به این ترتیب برای تابع $f$ پیوستگی برقرار است. 4. بررسی پیوستگی تابع $g(x)$: تابع $g(x) = |ax + 1|(bx + 1)$ ممکن است در نقطه‌ای که داخل قدرمطلق صفر شود ناپیوسته باشد، یعنی: $$ax + 1 = 0 \implies x_1 = -\frac{1}{a}$$ 5. مقدار تابع در این نقطه: $$g\left(-\frac{1}{a}\right) = |a \cdot (-\frac{1}{a}) + 1| \cdot \left(b \cdot (-\frac{1}{a}) + 1\right) = | -1 + 1| \cdot \left(-\frac{b}{a} + 1\right) = 0 \cdot \left(1 - \frac{b}{a}\right) = 0$$ 6. حد چپ و راست تابع $g$ در $x_1$: علامت داخل قدرمطلق برای $x < x_1$ و $x > x_1$ متفاوت است. - برای $x < -\frac{1}{a}$، چون $a \neq 0$، مقدار $ax + 1$ علامتی دارد که بسته به علامت $a$ مشخص می‌شود. اگر $a > 0$: برای $x < -\frac{1}{a}$ داریم $ax + 1 < 0$ یعنی: $$|ax+1| = -(ax+1) = -ax -1$$ حد چپ: $$\lim_{x \to -\frac{1}{a}^-} g(x) = (-ax -1)(bx +1) = (-a b x^2 - a x - b x -1)$$ جایگذاری $x = -\frac{1}{a}$: $$ -a b \left(\frac{1}{a^2}\right) - a \left(-\frac{1}{a}\right) - b \left(-\frac{1}{a}\right) - 1 = - \frac{b}{a} + 1 + \frac{b}{a} - 1 = 0$$ - برای $x > -\frac{1}{a}$ داریم $ax + 1 > 0$، پس: $$|ax + 1| = ax + 1$$ حد راست: $$\lim_{x \to -\frac{1}{a}^+} g(x) = (ax + 1)(bx + 1) = ab x^2 + a x + b x + 1$$ جایگذاری $x = -\frac{1}{a}$: $$a b \left(\frac{1}{a^2}\right) + a \left(-\frac{1}{a}\right) + b \left(-\frac{1}{a}\right) + 1 = \frac{b}{a} - 1 - \frac{b}{a} + 1 = 0$$ 7. پس تابع $g$ نیز در $x_1$ پیوسته است. 8. حال باید بدانیم برای صحت پیوستگی و معنای مسئله، $a + b$ چه مقادیر صحیحی می‌تواند بگیرد. هیچ محدودیتی بر $b$ یا $a$ از شرط پیوستگی مستقیم نداریم به جز $a \neq 0$. اما از فرمول‌های جدول حدها، به نظر می‌رسد شرطی مانند زیر باید برقرار باشد تا همه چیز صحیح باشد: در نهایت بدون شرطی اضافی، می‌توان $a + b$ هر عدد صحیحی باشد زیرا $a$ هر عدد غیر صفر صحیحی و $b$ هر عدد صحیح باشد. 9. جمع‌بندی: - $a$ عدد صحیح غیر صفر - $b$ عدد صحیح دلخواه - بنابراین $a + b$ می‌تواند هر عدد صحیح باشد. **پاسخ نهایی:** $$a + b \in \mathbb{Z}$$ و هیچ محدودیت غیر از $a \neq 0$ برای $a + b$ بر جای نمی‌ماند.