1. **Évaluer l'expression** $((\sqrt{2024} - 13)^0 - 2)^{2023}$ On sait que toute expression élevée à la puissance 0 vaut 1, sauf si la base est 0. $$ (\sqrt{2024} - 13)^0 = 1 $$ Donc: $$ (1 - 2)^{2023} = (-1)^{2023} $$ Puisque 2023 est impair, $(-1)^{2023} = -1$. 2. **Évaluer** $\left(\left(\frac{3}{\sqrt{6}}\right)^{-2} - \left(\frac{5}{4}\right)^{-1}\right)^{365}$ Calculons chaque terme: $$ \left(\frac{3}{\sqrt{6}}\right)^{-2} = \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^{2} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} $$ $$ \left(\frac{5}{4}\right)^{-1} = \frac{4}{5} $$ Donc l'expression intérieure devient: $$ \frac{2}{3} - \frac{4}{5} = \frac{10}{15} - \frac{12}{15} = -\frac{2}{15} $$ Alors: $$ \left(-\frac{2}{15}\right)^{365} = -\left(\frac{2}{15}\right)^{365} $$ Car 365 est impair. --- **Exercice 2 - Écriture sous forme de puissance** A = $\sqrt{7}^7 \times \sqrt{7}^{-13} = 7^{\frac{7}{2}} \times 7^{-\frac{13}{2}} = 7^{\frac{7}{2} - \frac{13}{2}} = 7^{-3}$ B = $\left(\frac{\sqrt{3}}{15}\right)^3 \times \left(\frac{13}{2}\right)^{15}$ (reste sous cette forme car bases différentes) C = $\left(\frac{\sqrt{7}}{6}\right)^{-1} \times \sqrt{7}^5 = \left(7^{\frac{1}{2}} 6^{-1}\right)^{-1} \times 7^{\frac{5}{2}} = 7^{-\frac{1}{2}} 6^{1} \times 7^{\frac{5}{2}} = 6 \times 7^{2} = 6 \times 49 = 294$ D = $\left(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\right)^{-3} = 1^{-3} = 1$ E = $\left(\frac{3}{7}\right)^{11} \times \left(\frac{7}{3}\right)^3 = \left(\frac{3}{7}\right)^{11} \times \left(\frac{3}{7}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{7}\right)^{8}$ F = $\sqrt{13} \times \sqrt{13} \times \sqrt{13} = (13^{\frac{1}{2}})^3 = 13^{\frac{3}{2}}$ G = $\left(\frac{5\sqrt{2}}{27}\right)^{-1} = \frac{27}{5 \sqrt{2}}$ H = $\left(\frac{7}{15}\right)^x \times \left(\frac{2}{15}\right)^5 \times \left(\frac{1}{7}\right)^4 = \left(\frac{7}{15}\right)^x \times \frac{2^5}{15^5} \times 7^{-4} = 2^{5} 7^{x-4} 15^{-5-x}$ I = $\left(\frac{2\sqrt{3}}{32}\right)^{-1} = \frac{32}{2\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}}$ K = $\frac{125}{2\sqrt{2}} \times \left(\frac{\sqrt{6}}{5}\right)^3 = \frac{125}{2\sqrt{2}} \times \frac{6^{3/2}}{125} = \frac{6^{3/2}}{2\sqrt{2}}$ L = $\left(\left(\frac{3}{2}\right)^{-1} \times \left(\frac{21}{15}\right)^{11} \times \left(\frac{3}{7}\right)^5 \right)^{-2} = \left(\frac{2}{3} \times \left(\frac{7}{5}\right)^{11} \times \left(\frac{3}{7}\right)^5\right)^{-2} = \left( 2 \times 3^{-1} \times 7^{11} 5^{-11} \times 3^5 7^{-5} \right)^{-2} = \left( 2 \times 3^{4} \times 7^{6} \times 5^{-11} \right)^{-2} = 2^{-2} \times 3^{-8} \times 7^{-12} \times 5^{22}$ --- **2. Réécrire sous forme d'une puissance à exposant positif** A = $(-2)^3 \times (-2)^{-7} = (-2)^{3 - 7} = (-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^4} = \frac{1}{16}$ B = $\left(\frac{1}{\sqrt{21}}\right)^{-5} = \left(\sqrt{21}\right)^5 = 21^{\frac{5}{2}}$ --- **Calculs divers:** A = $2^{-7} \times 20^{-5} \times 8$ $8 = 2^3$, donc: $$2^{-7} \times 20^{-5} \times 2^3 = 2^{-4} \times 20^{-5}$$ B = $0.00001 \times 125 \times 50^{-2} = 10^{-5} \times 125 \times (5 \times 10)^{-2} = 10^{-5} \times 125 \times 5^{-2} \times 10^{-2} = 10^{-7} \times 125 \times \frac{1}{25} = 10^{-7} \times 5 = 5 \times 10^{-7}$ C = $6^{15} \times 3^{2} = (2 \times 3)^{15} \times 3^2 = 2^{15} 3^{15} \times 3^{2} = 2^{15} 3^{17}$ D = $8^{-3} \times 0.0008^{-5} \times 5^7 = 2^{-9} \times (8 \times 10^{-4})^{-5} \times 5^7 = 2^{-9} \times 8^{-5} \times 10^{20} \times 5^7 = 2^{-9} \times 2^{-15} \times 10^{20} \times 5^{7} = 2^{-24} \times 10^{20} \times 5^{7}$ --- **Exercice 6 : Écritures scientifiques correctes** - $3.21 \times 10^{-23}$ : oui - $-36.13 \times 10^{35}$ : non (le coefficient doit être entre 1 et 10 positif) - $0.234 \times 10^{21}$ : non (coefficient doit être 1 - 10) - $7.43$ : oui (car 7.43 = $7.43 \times 10^0$) - $5.87 \times 10^{2}$ : oui - $9.06 \times 10^{5} \times 10^{-13} = 9.06 \times 10^{-8}$ : oui --- **Exercice 7 : Écriture scientifique** - 3600057 = $3.600057 \times 10^{6}$ - -0.0000451 = $-4.51 \times 10^{-5}$ - $3450000 \times 10^{-7} = 3.45 \times 10^{-1}$ - $0.000074 \times 2100 \times 10^{-5} = 7.4 \times 10^{-5} \times 2.1 \times 10^{3} \times 10^{-5} = (7.4 \times 2.1) \times 10^{-7} = 1.554 \times 10^{-6}$ - $1250 \times 347000 \times 10^{-18} = (1.25 \times 10^{3}) (3.47 \times 10^{5}) \times 10^{-18} = 4.3375 \times 10^{8} \times 10^{-18} = 4.3375 \times 10^{-10}$ - $5^2 \times 0.0004 \times 10^{-7} \times 11 = 25 \times 4 \times 10^{-4} \times 10^{-7} \times 11 = 25 \times 4.4 \times 10^{-11} = 110 \times 10^{-11} = 1.1 \times 10^{-9}$ --- **Exercice 8 : Données Terre** - Longueur de l'équateur : $4.0075 \times 10^{4}$ km - Superficie : $5.1007 \times 10^{8}$ km$^2$ - Masse : $5.974 \times 10^{24}$ (en kg assumé)