1. Écrivons chaque expression sous forme de puissance. 2. Pour A: $$A = \sqrt{7}^7 \times \sqrt{7}^{-13} = 7^{\frac{7}{2}} \times 7^{\frac{-13}{2}} = 7^{\frac{7}{2} + \frac{-13}{2}} = 7^{-3}$$ 3. Pour B: $$B = \left(\frac{\sqrt{3}}{15}\right)^{13} \times \left(\frac{5}{2}\right)^{13} = \left(\frac{3^{\frac{1}{2}}}{15}\right)^{13} \times \left(\frac{5}{2}\right)^{13} = \left(\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3 \times 5}\right)^{13} \times \left(\frac{5}{2}\right)^{13}$$ Simplifions le produit des bases: $$= \left(\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3 \times 5} \times \frac{5}{2}\right)^{13} = \left(\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3} \times \frac{1}{2}\right)^{13} = \left(\frac{3^{\frac{1}{2} - 1}}{2}\right)^{13} = \left(\frac{3^{-\frac{1}{2}}}{2}\right)^{13} = \left(\frac{1}{2 \sqrt{3}}\right)^{13}$$ 4. Pour C: $$C = \left[\left(\frac{\sqrt{7}}{5}\right)^{-4}\right]^{-5} = \left(\frac{\sqrt{7}}{5}\right)^{20} = \frac{7^{\frac{20}{2}}}{5^{20}} = \frac{7^{10}}{5^{20}}$$ 5. Pour D: $$D = \frac{\sqrt{7}^5}{\sqrt{7}^{-2}} = 7^{\frac{5}{2}} \times 7^{\frac{2}{2}} = 7^{\frac{5}{2} + 1} = 7^{\frac{7}{2}}$$ 6. Pour E: $$E = \left(\frac{3}{7}\right)^{11} \times \left(\frac{7}{3}\right)^{17} = \left(\frac{3}{7}\right)^{11} \times \left(\frac{3}{7}\right)^{-17} = \left(\frac{3}{7}\right)^{11 - 17} = \left(\frac{3}{7}\right)^{-6} = \left(\frac{7}{3}\right)^6$$ 7. Pour F: $$F = \sqrt{13}^{-5} \times \sqrt{13}^4 \times \sqrt{13}^{-2} = 13^{-\frac{5}{2}} \times 13^{2} \times 13^{-1} = 13^{-\frac{5}{2} + 2 - 1} = 13^{-\frac{5}{2} + 1} = 13^{-\frac{3}{2}}$$ 8. Pour G: $$G = \frac{(5\sqrt{2})^3}{27} = \frac{5^3 \times (2^{\frac{1}{2}})^3}{3^3} = \frac{125 \times 2^{\frac{3}{2}}}{27}$$ 9. Pour H: $$H = \left(\frac{5}{7}\right)^9 \times \left(\frac{2}{5}\right)^{-5} \times \left(\frac{7}{4}\right)^4 = \left(\frac{5}{7}\right)^9 \times \left(\frac{5}{2}\right)^5 \times \left(\frac{7}{4}\right)^4$$ Mêlons les bases communes: $$= 5^9 / 7^9 \times 5^5 / 2^5 \times 7^4 / 4^4 = 5^{9+5} \times 7^{-9+4} \times 2^{-5} \times 4^{-4}$$ Rappel: $$4 = 2^2$$ donc $$4^4 = 2^{8}$$ $$= 5^{14} \times 7^{-5} \times 2^{-5} \times 2^{-8} = 5^{14} \times 7^{-5} \times 2^{-13}$$ 10. Pour I: $$I = \frac{(2\sqrt{3})^{5}}{32} = \frac{2^{5} \times 3^{\frac{5}{2}}}{2^{5}} = 3^{\frac{5}{2}}$$ 11. Pour K: $$K = \frac{125}{2\sqrt{2}} \times \left(\frac{\sqrt{2}}{5}\right)^{30} = \frac{5^{3}}{2 \times 2^{\frac{1}{2}}} \times \frac{2^{\frac{30}{2}}}{5^{30}} = \frac{5^{3}}{2^{1 + \frac{1}{2}}} \times \frac{2^{15}}{5^{30}} = 5^{3-30} \times 2^{15 - \frac{3}{2}} = 5^{-27} \times 2^{\frac{27}{2}}$$ 12. Pour L: $$L = \left(\frac{3}{5}\right)^{-2 \times 4} \times \left(\frac{21}{15}\right)^{11} \times \left(\frac{3}{7}\right)^8 = \left(\frac{3}{5}\right)^{-8} \times \left(\frac{7 \times 3}{3 \times 5}\right)^{11} \times \left(\frac{3}{7}\right)^8 = \left(\frac{3}{5}\right)^{-8} \times \left(\frac{7}{5}\right)^{11} \times \left(\frac{3}{7}\right)^8$$ Simplifions: $$= \frac{5^{8}}{3^{8}} \times \frac{7^{11}}{5^{11}} \times \frac{3^8}{7^8} = 5^{8-11} \times 7^{11-8} \times 3^{-8+8} = 5^{-3} \times 7^{3} \times 3^{0} = \frac{7^3}{5^3}$$ Réponses finales: $$A=7^{-3}$$ $$B=\left(\frac{1}{2 \sqrt{3}}\right)^{13}$$ $$C=\frac{7^{10}}{5^{20}}$$ $$D=7^{\frac{7}{2}}$$ $$E=\left(\frac{7}{3}\right)^6$$ $$F=13^{-\frac{3}{2}}$$ $$G=\frac{125 \times 2^{\frac{3}{2}}}{27}$$ $$H=5^{14} \times 7^{-5} \times 2^{-13}$$ $$I=3^{\frac{5}{2}}$$ $$K=5^{-27} \times 2^{\frac{27}{2}}$$ $$L=\frac{7^3}{5^3}$$