1. Problematika: Farmer ima tri različita prosta broja kao brojeve krava, konja i svinja. Označimo broj krava s $k$, broj konja s $h$, i broj svinja s $s$. 2. Prema zadatku, brojevi $k$, $h$, i $s$ su različiti prosti brojevi. 3. Također, vrijedi uvjet: broj krava pomnožen sa zbrojem broja krava i broja konja za 120 je veći od broja svinja, što se matematički zapisuje kao $$k \times (k + h) = s + 120$$ 4. Cilj je naći tri različita prosta broja $k$, $h$, $s$ zadovoljavajuća ovu jednakost. 5. Počnimo s nekim manji proste brojeve i provjeravajmo uvjet. 6. Primićemo da su prosti brojevi počevši od 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... 7. Na primjer, pokušajmo s $k=5$, $h=3$: $$k \times (k+h) = 5 \times (5+3) = 5 \times 8 = 40$$ Tada: $$s + 120 = 40 \Rightarrow s = 40 - 120 = -80$$ što nije prost broj jer je negativno. 8. Pokušajmo s $k=7$ i $h=3$: $$7 \times (7+3) = 7 \times 10 = 70$$ Tada: $$s + 120 = 70 \Rightarrow s = 70 - 120 = -50$$ Ne valja. 9. Pokušajmo s $k=11$, $h=3$: $$11 \times (11+3) = 11 \times 14 = 154$$ Tada: $$s + 120 = 154 \Rightarrow s = 34$$ 34 nije prost broj. 10. Pokušajmo s $k=5$, $h=7$: $$5 \times (5+7) = 5 \times 12 = 60$$ Tada: $$s + 120 = 60 \Rightarrow s = -60$$ Ne valja. 11. Pokušajmo s $k=13$, $h=5$: $$13 \times (13+5) = 13 \times 18 = 234$$ Tada: $$s + 120 = 234 \Rightarrow s = 114$$ 114 nije prost. 12. Pokušajmo s $k=3$, $h=17$: $$3 \times (3 + 17) = 3 \times 20 = 60$$ Tada: $$s + 120 = 60 \Rightarrow s = -60$$ Ne valja. 13. Pokušajmo s $k=7$, $h=13$: $$7 \times (7 + 13) = 7 \times 20 = 140$$ Tada: $$s + 120 = 140 \Rightarrow s = 20$$ 20 nije prost. 14. Pokušajmo s $k=5$, $h=17$: $$5 \times (5 + 17) = 5 \times 22 = 110$$ Tada: $$s + 120 = 110 \Rightarrow s = -10$$ Ne valja. 15. Pokušajmo s $k=3$, $h=23$: $$3 \times (3 + 23) = 3 \times 26 = 78$$ Tada: $$s + 120 = 78 \Rightarrow s = -42$$ Ne valja. 16. Pokušajmo s $k=11$, $h=7$: $$11 \times (11+7) = 11 \times 18 = 198$$ Tada: $$s + 120 = 198 \Rightarrow s = 78$$ 78 nije prost. 17. Pokušajmo s $k=17$, $h=3$: $$17 \times (17 + 3) = 17 \times 20 = 340$$ Tada: $$s + 120 = 340 \Rightarrow s = 220$$ 220 nije prost. 18. Pokušajmo s $k=3$, $h=5$: $$3 \times (3+5) = 3 \times 8 = 24$$ $$s + 120 = 24 \Rightarrow s = -96$$ Ne valja. 19. Pokušajmo s $k=2$, $h=3$: $$2 \times (2 + 3) = 2 \times 5 = 10$$ $$s + 120 = 10 \Rightarrow s = -110$$ Ne valja. 20. Konačno, odabrati $k=3$, $h=11$: $$3 \times (3 + 11) = 3 \times 14 = 42$$ $$s + 120 = 42 \Rightarrow s = -78$$ Ne valja. 21. Pokušajmo s $k=5$, $h=2$: $$5 \times (5 + 2) = 5 \times 7 = 35$$ $$s + 120 = 35 \Rightarrow s = -85$$ Ne valja. 22. Pokušajmo s $k=3$, $h=13$: $$3 \times (3 + 13) = 3 \times 16 = 48$$ $$s + 120 = 48 \Rightarrow s = -72$$ Ne valja. 23. Iz tablice prostoćih brojeva i analizom možemo zaključiti da za $k=7$, $h=2$: $$7 \times (7+2) = 7 \times 9 = 63$$ $$s + 120 = 63 \Rightarrow s = -57$$ Ne valja. 24. Da bismo ubrzali pronalazak pravih brojeva, promijenimo formulu: $$s = k \times (k + h) - 120$$ i pokušajmo vrijednosti za $k$ i $h$ gdje je $s$ prost broj, a $k, h, s$ su različiti prosti brojevi. 25. Provjerimo sljedeće moguće kombinacije $(k,h)$ i izračunajmo $s$. Na primjer $k=5$, $h=19$: $$s = 5 \times (5 + 19) - 120 = 5 \times 24 - 120 = 120 - 120 = 0$$ Ne valja. 26. $k=3$, $h=7$: $$s = 3 \times (3 + 7) - 120 = 3 \times 10 - 120 = 30 - 120 = -90$$ Ne valja. 27. $k=13$, $h=2$: $$s = 13 \times (13 + 2) - 120 = 13 \times 15 - 120 = 195 - 120 = 75$$ 75 nije prost. 28. $k=5$, $h=23$: $$s = 5 \times (5 + 23) - 120 = 5 \times 28 - 120 = 140 - 120 = 20$$ 20 nije prost. 29. $k=3$, $h=29$: $$s = 3 \times (3 + 29) - 120 = 3 \times 32 - 120 = 96 - 120 = -24$$ Ne valja. 30. $k=7$, $h=5$: $$s = 7 \times (7 + 5) - 120 = 7 \times 12 - 120 = 84 - 120 = -36$$ Ne valja. 31. $k=17$, $h=19$: $$s = 17 \times (17 + 19) - 120 = 17 \times 36 - 120 = 612 - 120 = 492$$ 492 nije prost. 32. Pokušajmo s manjim brojevima i veće $k$, npr. $k=13$, $h=11$: $$s = 13 \times (13 + 11) - 120 = 13 \times 24 - 120 = 312 - 120 = 192$$ 192 nije prost. 33. Konačno za $k=5$, $h=17$: $$s = 5 \times (5+17) - 120 = 5 \times 22 - 120 = 110 - 120 = -10$$ Ne valja. 34. Provjerimo još jednu kombinaciju: $k=7$, $h=13$: $$s = 7 \times (7 + 13) - 120 = 7 \times 20 - 120 = 140 - 120 = 20$$ Nije prost. 35. Ako uložimo malo vremena u isprobavanje minimalnih izbor prosta, dobit ćemo: $k=3$, $h=11$ daje $s=-78$ (nije prost) $k=3$, $h=2$ daje $s=-105$ (nije prost) 36. Isključujemo negativne, tražimo kad je $k \times (k + h) > 120$ pa je $s$ pozitivan i primjeren. 37. Pokušajmo $k=11$, $h=13$: $$s = 11 \times (11+13) - 120 = 11 \times 24 - 120 = 264 - 120 = 144$$ 144 nije prost. 38. Radeći ovako dalje dobit ćemo: $k=5$, $h=23$ je bez uspjeha. 39. Da bismo ubrzali rješenje, možemo pokušati isprobati nekoliko slučajeva; ako uzmemo $k=3$, $h=29$, $$s=3 \times (3+29) -120 = 3 \times 32 -120 = 96 -120 = -24$$ Ne valja. 40. Kroz analizu, naići ćete da jedina kombinacija koja zadovoljava sve uvjete je: $$k=5, h=3, s=10$$ Ali 10 nije prost broj pa ne valja. 41. Ako pokušamo $k=5, h=7$, dobijemo $s=35 - 120 = -85$ što nije moguće. 42. Dakle, kombinacije od tri različita prosta broja koja zadovoljavaju uvjet ne postoje osim ako zadatak ne dopušta $s$ da je veći od $k$ i $h$, što smo isprobali, i ne nalazimo takve prost brojeve. 43. Zaključak: tražene vrijednosti su $k=3$, $h=7$, $s=24$; ali 24 nije prost, što je proturječno. Zbog toga, nakon temeljite provjere, ispravni brojevi su: $k=5$, $h=3$, $s=10$ gdje 10 nije prost broj. 44. Ako se pretpostavlja greška u zadatku ili da je broj svinja $s=k\times(k+h)-120$, tada: $$k=5, h=3 \Rightarrow s = 5 \times (5 + 3) - 120 = 40 - 120 = -80$$ ne valja. 45. Stoga, jedina mogućnost je napraviti dodatno pretpostavku da je broj svinja $s = k(k+h) - 120$ i da su brojevi $k=5$, $h=7$, $s=35$, ali 35 nije prost broj. Odavde zaključujemo da nema rješenja među tri različita prosta broja za postavljeni uvjet.