1. **بيان المسألة:** لدينا الدالة $$f(x) = \frac{2a - x^2}{x}$$ حيث $$a > 0$$ و $$x \neq 0$$. مطلوب حل البنود التالية: 2. **إيجاد معادلات خطوط التقارب المماسة للمحورين:** - التقارب المماسي للمحور $$y$$ (أي عند $$x=0$$): ندرس نهاية الدالة عند $$x \to 0^+$$ و $$x \to 0^-$$: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{2a - x^2}{x} = +\infty$$ $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{2a - x^2}{x} = -\infty$$ إذن هناك تقارب رأسي عند $$x=0$$. - التقارب المماسي للمحور $$x$$ (أي عندما $$y=0$$): نحل المعادلة $$f(x) = 0$$: $$\frac{2a - x^2}{x} = 0 \Rightarrow 2a - x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2a}$$ عند هذه النقاط، الدالة تقطع المحور $$x$$. 3. **إثبات أن الدالة فردية:** - نتحقق من $$f(-x)$$: $$f(-x) = \frac{2a - (-x)^2}{-x} = \frac{2a - x^2}{-x} = - \frac{2a - x^2}{x} = -f(x)$$ إذن $$f$$ دالة فردية لأن $$f(-x) = -f(x)$$. 4. **إيجاد نقاط تقاطع الدالة مع المحورين:** - مع المحور $$y$$: عند $$x=0$$ الدالة غير معرفة، إذن لا يوجد تقاطع مع المحور $$y$$. - مع المحور $$x$$: كما وجدنا، نقاط التقاطع هي $$x = \pm \sqrt{2a}$$، والإحداثيات: $$\left(\sqrt{2a}, 0\right)$$ و $$\left(-\sqrt{2a}, 0\right)$$. 5. **إيجاد مجالات التصاعد والتنازل:** - نحسب المشتقة: $$f(x) = \frac{2a - x^2}{x} = \frac{2a}{x} - x$$ $$f'(x) = -\frac{2a}{x^2} - 1$$ - ندرس إشارة $$f'(x)$$: $$f'(x) = -\frac{2a}{x^2} - 1 < 0$$ لكل $$x \neq 0$$ لأن $$-\frac{2a}{x^2} < 0$$ و $$-1 < 0$$. إذن الدالة تنازلية في كل مجال تعريفها. 6. **إيجاد مجال التقعر:** - نحسب المشتقة الثانية: $$f''(x) = \frac{4a}{x^3}$$ - ندرس إشارة $$f''(x)$$: - إذا $$x > 0$$، $$f''(x) = \frac{4a}{x^3} > 0$$ (لأن $$a > 0$$) - إذا $$x < 0$$، $$f''(x) < 0$$ - إذن: - الدالة مقعرة لأعلى (∪) على $$ (0, +\infty) $$ - الدالة مقعرة لأسفل (∩) على $$ (-\infty, 0) $$ **النتيجة النهائية:** - خطوط التقارب: تقارب رأسي عند $$x=0$$. - الدالة فردية. - نقاط التقاطع مع المحور $$x$$ هي $$\left(\pm \sqrt{2a}, 0\right)$$. - الدالة تنازلية في كل مجال تعريفها. - مجال التقعر لأعلى هو $$ (0, +\infty) $$ ولأسفل هو $$ (-\infty, 0) $$.