1. Problema 7: El 2º término de una progresión geométrica (PG) es $a_2$, y el 5º término es $a_5$. Expresar la progresión. Paso 1: Sea $a_1$ el primer término y $r$ la razón común. Paso 2: Por definición de PG: $$a_2 = a_1 r$$ $$a_5 = a_1 r^4$$ Paso 3: Dividamos para encontrar $r$: $$\frac{a_5}{a_2} = \frac{a_1 r^4}{a_1 r} = r^3$$ Entonces: $$r = \sqrt[3]{\frac{a_5}{a_2}}$$ Paso 4: Despejamos $a_1$: $$a_1 = \frac{a_2}{r}$$ Paso 5: La progresión es: $$a_n = a_1 r^{n-1} = \frac{a_2}{r} r^{n-1} = a_2 r^{n-2}$$ --- 2. Problema 8: El primer término de una PG es $a_1$, y el 8º es $a_8$. Hallar la razón, suma y producto de los 8 primeros términos. Paso 1: Usando la fórmula de término general: $$a_8 = a_1 r^7$$ Paso 2: Calcular $r$: $$r = \sqrt[7]{\frac{a_8}{a_1}}$$ Paso 3: La suma de los primeros 8 términos es: $$S_8 = a_1 \frac{1 - r^8}{1-r}, \quad r \neq 1$$ Paso 4: El producto de los primeros 8 términos es: $$P_8 = (a_1)^8 r^{\frac{8(8-1)}{2}} = (a_1)^8 r^{28}$$ --- 3. Problema 9: Calcular la suma de los primeros $n$ términos de la progresión $3,6,12,24,48, \ldots$ Paso 1: Identificamos $a_1=3$, razón $r=2$. Paso 2: La suma de primeros $n$ términos de una PG es: $$S_n = a_1 \frac{1-r^n}{1-r} = 3 \frac{1-2^n}{1-2} = 3 \frac{1-2^n}{-1} = 3(2^n - 1)$$ --- 4. Problema 10: Un cuadrado de lado $L$. Se unen los puntos medios de los lados para formar un nuevo cuadrado y se repite indefinidamente. Calcular la suma de áreas de infinitos cuadrados. Paso 1: Área del cuadrado original: $$A_1 = L^2$$ Paso 2: Cada nuevo cuadrado formado por los puntos medios tiene un área la mitad del anterior (porque el lado nuevo es $\frac{L}{\sqrt{2}}$). Área del 2º cuadrado: $$A_2 = \left(\frac{L}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{L^2}{2}$$ Paso 3: La sucesión de áreas es geométrica con: $$a = L^2, \quad r = \frac{1}{2}$$ Paso 4: La suma de las áreas infinitas es: $$S = \frac{a}{1-r} = \frac{L^2}{1 - \frac{1}{2}} = 2L^2$$