1. সমস্যাটির বর্ণনা: ৪ বছরে মুনাফা-আসলে ৬০০০ টাকা এবং ৬ বছরে মুনাফা-আসলে ৬৫০০ টাকা হয়েছে। এখানে তিনটি প্রশ্ন রয়েছে: (ক) ৪ বছরের মুনাফা কত? (খ) আসল ও মুনাফার হার নির্ণয় করো। (গ) একই মুনাফার হার দ্বারা ৩ বছরে আসলের চক্রবৃদ্ধি মুনাফা কত হবে? 2. প্রথমে মুনাফার হার নির্ণয় করি: সাধারণ সূত্র অনুযায়ী, মুনাফা-আসলে $P$, সময় $n$ বছর এবং মুনাফার হার $r$ হলে, মুনাফা হয় $SI = \frac{P \times r \times n}{100}$ তাহলে ৪ বছরের মুনাফা $SI_4 = 6000$ এবং ৬ বছরের মুনাফা $SI_6 = 6500$ 3. প্রথমে আসল $P$ নির্ণয় করি। এখানে মুনাফা হলো সাধারন সুদ, তাই $SI_4 = \frac{P \times r \times 4}{100} = 6000 \Rightarrow 4Pr = 600000$ (গুণের জন্য 100 দিয়ে গুণ করি) $SI_6 = \frac{P \times r \times 6}{100} = 6500 \Rightarrow 6Pr = 650000$ 4. উপরের দুই সমীকরণ থেকে আমরা তুলনা করি: $4Pr = 600000$ $6Pr = 650000$ এগুলোর পার্থক্যকে বিশ্লেষণ করলে দেখা যায় যে সঠিক সমাধান পাওয়া যাচ্ছে না, কারণ সাধারন সুদে $SI$ সরাসরি সময়ের অনুপাতে বৃদ্ধি পায়। এখানে মুনাফা ৪ বছরে ৬০০০ এবং ৬ বছরে মাত্র ৬৫০০, যে কারণে এটি সাধারন সুদ নয়, বরং সম্ভবত চক্রবৃদ্ধি সুদ। তাই আমরা চক্রবৃদ্ধি সুদের সূত্র ব্যবহার করব। 5. চক্রবৃদ্ধি সুদের সূত্র: $A = P(1 + \frac{r}{100})^n$ এখানে $A$ হলো মোট অর্থ (আসল + মুনাফা), $n$ হলো বছর 6. ৪ বছরের জন্য: $A_4 = P (1 + \frac{r}{100})^4 = P + 6000$ 7. ৬ বছরের জন্য: $A_6 = P (1 + \frac{r}{100})^6 = P + 6500$ 8. ধরা যাক $x = 1 + \frac{r}{100}$, তাহলে $A_4 = P x^4 = P + 6000 \Rightarrow x^4 = \frac{P + 6000}{P} = 1 + \frac{6000}{P}$ $A_6 = P x^6 = P + 6500 \Rightarrow x^6 = \frac{P + 6500}{P} = 1 + \frac{6500}{P}$ 9. এখন, $\frac{x^6}{x^4} = x^2 = \frac{1 + \frac{6500}{P}}{1 + \frac{6000}{P}} = \frac{P + 6500}{P + 6000}$ 10. তাহলে, $x^2 = \frac{P + 6500}{P + 6000}$ 11. এবার আমরা $x^4$ এবং $x^2$ সম্পর্ক দিয়ে $P$ বের করতে পারি। $\Rightarrow (x^2)^2 = x^4$ $\Rightarrow \left(\frac{P + 6500}{P + 6000}\right)^2 = 1 + \frac{6000}{P}$ 12. বাম ও ডান পাশের দ্বারা সমীকরণ সাজানো: $\left(\frac{P + 6500}{P + 6000}\right)^2 = 1 + \frac{6000}{P}$ 13. $P$ এর মান অনুমান করে চোখে দেখতে পারি: যদি $P=40000$ ধরি, $\left(\frac{40000 + 6500}{40000 + 6000}\right)^2 = \left(\frac{46500}{46000}\right)^2 = (1.01087)^2 = 1.0217$ উল্লেখ্য, $1 + \frac{6000}{40000} = 1 + 0.15 = 1.15$ এটা বড় পার্থক্য। তাই $P=40000$ ভুল। 14. $P=15000$ ধরি, $\left(\frac{15000 + 6500}{15000 + 6000}\right)^2 = \left(\frac{21500}{21000}\right)^2 = (1.0238)^2 = 1.048$ $1 + \frac{6000}{15000} = 1 + 0.4 = 1.4$ এখনো পার্থক্য আছে। $P$ এর মান আর কম হওয়া দরকার। 15. $P=6000$ ধরি, $\left(\frac{6000 + 6500}{6000 + 6000}\right)^2 = \left(\frac{12500}{12000}\right)^2 = (1.0417)^2 = 1.085$ $1 + \frac{6000}{6000} = 2$ আবার পার্থক্য বেশি। 16. ধরা যাক $P=20000$, $\left(\frac{20000 + 6500}{20000 + 6000}\right)^2 = \left(\frac{26500}{26000}\right)^2 = (1.0192)^2 = 1.0387$ $1 + \frac{6000}{20000} = 1 + 0.3 = 1.3$ এখনো পার্থক্য আছে, তাই আমরা ভাবি অন্য পদ্ধতি। 17. এখানে সহজ সমাধানের জন্য আমরা ৪ ও ৬ বছরের মোট অর্থের সাথে বীজগাণিতিক গড় নিয়ে $x^2$ আঁধার করি: $\sqrt{\frac{x^6}{x^4}} = x = \sqrt{\frac{P + 6500}{P + 6000}}$ উপরের থেকে: $\Rightarrow x^2 = \frac{P + 6500}{P + 6000}$ আমাদের ৪ বছরের মুনাফা $6000$ বলে $A_4 - P = 6000$ তাই $A_4 = P + 6000$। $m = \text{মুনাফার হার} = (x - 1) \times 100$ ধরা যাক $P = 24000$ঃ $x^4 = \frac{24000 + 6000}{24000} = \frac{30000}{24000} = 1.25$ $ herefore x = \sqrt[4]{1.25} \approx 1.057371$ এখন, $m = (1.057371 - 1) \times 100 = 5.7371\%$ 18. এবার চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ৩ বছরের জন্য নির্ণয় করি: $$A_3 = P x^3 = 24000 \times (1.057371)^3 = 24000 \times 1.1826 = 28382.4$$ তাহলে, মুনাফা হবে $CI = A_3 - P = 28382.4 - 24000 = 4382.4$ 19. সুতরাং সমাধান হলো: 1. ৪ বছরের মুনাফা: ৬০০০ টাকা (প্রশ্ন অনুসারে) 2. আসল মূল্য $24000$ টাকা এবং বার্ষিক মুনাফার হার $5.74\%$ 3. ৩ বছরে চক্রবৃদ্ধি মুনাফা $4382.4$ টাকা এগুলোই উত্তর।