1. Masalah: Morgan ingin membuat topi (A) dan terompet (B) dengan anggaran 1000. Biaya topi Rp 25 per unit dan terompet Rp 50 per unit. Fungsi produksi adalah $$P = A^2 B^3$$. 2. Diketahui: - Anggaran: $$25A + 50B = 1000$$ - Fungsi produksi: $$P = A^2 B^3$$ 3. Tujuan: - a. Tentukan jumlah terompet $$B$$ agar produksi $$P$$ maksimum. - b. Hitung produksi optimum $$P$$. 4. Langkah 1: Ekspresikan $$A$$ dari anggaran: $$25A + 50B = 1000 \Rightarrow A = \frac{1000 - 50B}{25} = 40 - 2B$$ 5. Langkah 2: Substitusi $$A$$ ke fungsi produksi: $$P = (40 - 2B)^2 B^3$$ 6. Langkah 3: Maksimalkan $$P$$ terhadap $$B$$ dengan mengambil turunan dan set ke nol: $$P = (40 - 2B)^2 B^3$$ Gunakan aturan turunan: $$P = (40 - 2B)^2 \cdot B^3$$ Turunan: $$\frac{dP}{dB} = 2(40 - 2B)(-2) B^3 + (40 - 2B)^2 \cdot 3B^2$$ $$= -4(40 - 2B) B^3 + 3(40 - 2B)^2 B^2$$ Faktorkan $$B^2 (40 - 2B)$$: $$\frac{dP}{dB} = B^2 (40 - 2B) (-4B + 3(40 - 2B))$$ Sederhanakan: $$-4B + 120 - 6B = 120 - 10B$$ Jadi: $$\frac{dP}{dB} = B^2 (40 - 2B) (120 - 10B)$$ 7. Langkah 4: Cari nilai $$B$$ yang membuat turunan nol: $$B^2 = 0 \Rightarrow B=0$$ (tidak mungkin karena produksi nol) $$40 - 2B = 0 \Rightarrow B=20$$ $$120 - 10B = 0 \Rightarrow B=12$$ 8. Langkah 5: Evaluasi produksi $$P$$ pada $$B=12$$ dan $$B=20$$: - Untuk $$B=12$$: $$A = 40 - 2(12) = 40 - 24 = 16$$ $$P = 16^2 \times 12^3 = 256 \times 1728 = 442368$$ - Untuk $$B=20$$: $$A = 40 - 2(20) = 40 - 40 = 0$$ $$P = 0^2 \times 20^3 = 0$$ 9. Jadi, produksi maksimum terjadi pada $$B=12$$ dan $$A=16$$ dengan produksi optimum: $$P = 442368$$ Jawaban: a. Jumlah terompet optimum adalah $$12$$ unit. b. Produksi optimum adalah $$442368$$.