1. Énoncé du problème : Calculer $\left(3\sqrt{11} + 3\right)\left(2\sqrt{11} + 2\right)$ et donner la réponse sous la forme $a + b\sqrt{c}$ où $a,b$ sont des nombres entiers ou fractions simplifiées, et $c$ l'entier le plus petit possible. 2. Calculons le produit en développant selon la distributivité : $$ (3\sqrt{11} + 3)(2\sqrt{11} + 2) = 3\sqrt{11} \times 2\sqrt{11} + 3\sqrt{11} \times 2 + 3 \times 2\sqrt{11} + 3 \times 2 $$ 3. Calculons chaque terme : - $3\sqrt{11} \times 2\sqrt{11} = 3 \times 2 \times \sqrt{11} \times \sqrt{11} = 6 \times 11 = 66$ - $3\sqrt{11} \times 2 = 6\sqrt{11}$ - $3 \times 2\sqrt{11} = 6\sqrt{11}$ - $3 \times 2 = 6$ 4. Regroupons les termes : $$ 66 + 6\sqrt{11} + 6\sqrt{11} + 6 = (66 + 6) + (6\sqrt{11} + 6\sqrt{11}) = 72 + 12\sqrt{11} $$ 5. La forme finale est donc : $$ \boxed{72 + 12\sqrt{11}} $$ Le nombre $11$ est déjà le plus petit entier sous la racine car $11$ est un nombre premier.