1. **بيان المسألة:** لدينا عددين طبيعيين $a$ و$b$ مُعرفين بدلالة عدد طبيعي $n$ غير معلوم. 2. **تحليل العدد $a$ إلى جداء عوامل أولية:** - المعطى: $$a^3 = 3^9 \times 12^3 \times 21^6$$ - نفرّك العوامل: - $12 = 2^2 \times 3$ - $21 = 3 \times 7$ - إذن: $$a^3 = 3^9 \times (2^2 \times 3)^3 \times (3 \times 7)^6 = 3^9 \times 2^{6} \times 3^{3} \times 3^{6} \times 7^{6} = 2^{6} \times 3^{(9+3+6)} \times 7^{6} = 2^{6} \times 3^{18} \times 7^{6}$$ - بما أن $a^3 = 2^{6} \times 3^{18} \times 7^{6}$، - نحصل على $a = 2^{6/3} \times 3^{18/3} \times 7^{6/3} = 2^2 \times 3^6 \times 7^2$ 3. **إيجاد أصغر قيمة لـ $n$ ليكون $b$ عددًا طبيعيًا:** - المعطى: $$b = \sqrt{486} \times n$$ - فك العدد تحت الجذر: $$486 = 2 \times 3^5$$ - إذن: $$b = \sqrt{2 \times 3^5} \times n = \sqrt{2} \times 3^{2} \times \sqrt{3} \times n = 9 \times \sqrt{6} \times n$$ - لكي يكون $b$ عددًا طبيعيًا، يجب أن يكون $\sqrt{6} \times n$ عددًا طبيعيًا. - وبما أن $6=2 \times 3$، ف $n$ يجب أن يحتوي على عوامل $2$ و $3$ تحت الجذر ليزيلها. - بالتالي، أقل قيمة لـ $n$ لتكون $b$ طبيعيًا هي $n = 6$. 4. **أصغر قيمة لـ $n$ حتى يكون $a \times n$ مربعًا تامًا:** - $a = 2^2 \times 3^6 \times 7^2$ - أضف $n = 2^x \times 3^y \times 7^z$ بحيث يكون جميع الأسس الزوجية في $a \times n$. - الأسس الحالية: - $2^2$ زوجية (تمام) - $3^6$ زوجية - $7^2$ زوجية - إذن $a$ مربع تام فعلاً، وأي $n$ زوجي الأسس يبقى مربع تام. - أصغر قيمة لـ $n$ لتظل مربع تام هي 1. 5. **نضع $n=54$:** - $54 = 2 \times 3^3$ (أ) **تحليل $b$: ** - $$b = \sqrt{486} \times 54 = 9 \times \sqrt{6} \times 54 = 486 \times \sqrt{6}$$ - تحليل الجذر وندمج بالتالي: $$b = 486 \times \sqrt{6} = 2 \times 3^5 \times \sqrt{2 \times 3} = 2 \times 3^5 \times \sqrt{2} \times \sqrt{3}$$ - مع $n=54$ نعيد الحساب بشكل عام: $$b = \sqrt{486} \times 54 = 54 \times \sqrt{486}$$ - ولكن لنحلل $b$ أولًا كعدد طبيعي أو ضرب جذر. - بدقة، تحليل الجذر: $$\sqrt{486} = \sqrt{2 \times 3^5} = 3^2 \times \sqrt{6} = 9 \times \sqrt{6}$$ - إذاً: $$b = 9 \times \sqrt{6} \times 54 = 486 \times \sqrt{6}$$ - عامل $486 = 2 \times 3^5$، لذا: $$b = 2 \times 3^5 \times \sqrt{6}$$ - التحليل النهائي لـ $b$ هو: $$b = 2^1 \times 3^{5} \times (2^{1/2} \times 3^{1/2}) = 2^{1 + 1/2} \times 3^{5 + 1/2}$$ - هذا ليس تحليل عوامل أولية معياري، لذا نتركه مثل: $$b = 486 \times \sqrt{6}$$ (ب) **حساب $PGCD(a,b)$ و $PPCM(a,b)$ بدلالة $n=54$**: - نكتب عوامل $a$ و $b$: - $a = 2^{2} \times 3^{6} \times 7^{2}$ - $b = 2^{1 + 1/2} \times 3^{5 + 1/2}$ (ليس عددًا صحيحًا لكن نستخدم جزء الأسس الصحيحة فقط: $2^1 \times 3^5$) - $PGCD$ يأخذ الأقل من الأسس الصحيحة: $$PGCD = 2^{1} \times 3^{5} = 2 \times 243 = 486$$ - $PPCM$ يأخذ الأكبر من الأسس (نأخذ جزء صحيح فقط لتقييم): $$PPCM = 2^{2} \times 3^{6} \times 7^{2} = a$$ - ملاحظة: لأن $b$ ليس عددًا صحيحًا بسبب الجذور، نعتبر جزءه الصحيح فقط. (ج) **كتابة الكسر $\frac{a}{b}$ في أبسط صورة وحساب الفرق $\frac{2}{b} - \frac{3}{a}$:** - نكتب: $$\frac{a}{b} = \frac{2^{2} \times 3^{6} \times 7^{2}}{2^{1 + 1/2} \times 3^{5 + 1/2}} = 2^{2 - (1 + 1/2)} \times 3^{6 - (5 + 1/2)} \times 7^{2} = 2^{1/2} \times 3^{1/2} \times 7^{2} = 7^{2} \times \sqrt{6} = 49 \times \sqrt{6}$$ - الفرق: $$\frac{2}{b} - \frac{3}{a} = 2 \times \frac{1}{b} - 3 \times \frac{1}{a}$$ - $\frac{1}{b} = \frac{1}{486 \times \sqrt{6}}$, و $\frac{1}{a} = \frac{1}{2^2 \times 3^6 \times 7^2} = \frac{1}{2^2 \times 3^6 \times 7^2}$ - حساب الفرق بدقة: $$= \frac{2}{486 \sqrt{6}} - \frac{3}{2^{2} 3^{6} 7^{2}}$$ - يمكن تركه على هذا الشكل أو تبسيطه حسب الحاجة. (د) **هل $\frac{b}{a}$ عدد عشري؟** - اعتمدنا: $$ \frac{b}{a} = \frac{486 \times \sqrt{6}}{2^{2} 3^{6} 7^{2}}$$ - الجذر $\sqrt{6}$ غير عدد نسبي، إذًا $\frac{b}{a}$ ليس عددًا عشريًا ولا نسبيًا. - لذا، $\frac{b}{a}$ ليس عدد عشري لأن يحتوي على جذر غير كامل. **الخلاصة:** - $a = 2^2 \times 3^6 \times 7^2$ - أقل قيمة لـ $n$ ليكون $b$ طبيعيًا هي 6. - $a$ مربع تام، فأصغر قيمة لـ $n$ لتبقى مربع تام هو 1. - عند $n=54$، تحليل $b$ يحتوي على الجذر ولا يمكن كتابته كعدد طبيعي. - $PGCD(a,b) = 486$, $PPCM(a,b) = a$. - $\frac{a}{b} = 49 \sqrt{6}$. - $\frac{b}{a}$ ليس عدد عشري.