1. **مسئله:** محاسبه مقدار $$\left(\frac{1}{8}\right)^4 \times 32^5$$. 2. **فرمول‌ها و قوانین مهم:** - توان یک کسر: $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$. - ضرب توان‌ها با پایه‌های مختلف: ابتدا پایه‌ها را به صورت توان‌های یک عدد مشترک بازنویسی می‌کنیم. 3. **گام به گام حل:** - ابتدا پایه‌ها را به صورت توان‌های 2 بازنویسی می‌کنیم: $$8 = 2^3 \Rightarrow \frac{1}{8} = 2^{-3}$$ $$32 = 2^5$$ - جایگذاری در عبارت اصلی: $$\left(2^{-3}\right)^4 \times \left(2^5\right)^5$$ - استفاده از قانون توان به توان: $$2^{-3 \times 4} \times 2^{5 \times 5} = 2^{-12} \times 2^{25}$$ - جمع توان‌ها در ضرب با پایه یکسان: $$2^{-12 + 25} = 2^{13}$$ 4. **نتیجه نهایی:** $$2^{13} = 8192$$ بنابراین مقدار $$\left(\frac{1}{8}\right)^4 \times 32^5$$ برابر است با 8192.