1. **مسئله:** مقدار عبارت $$\frac{3^{-2} \times 2^{-16}}{12^{-5}}$$ را بیابید. 2. **فرمول‌ها و قوانین مهم:** - قانون توان‌ها: $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$ - ضرب توان‌ها با پایه‌های مختلف: به صورت جداگانه محاسبه می‌شود. - تقسیم توان‌ها: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$ 3. **حل مسئله:** ابتدا صورت کسر را به صورت جداگانه بررسی می‌کنیم: $$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$$ $$2^{-16} = \frac{1}{2^{16}}$$ صورت کسر: $$3^{-2} \times 2^{-16} = \frac{1}{9} \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{1}{9 \times 2^{16}}$$ مخرج کسر: $$12^{-5} = \frac{1}{12^5}$$ 4. حال کسر اصلی را بازنویسی می‌کنیم: $$\frac{\frac{1}{9 \times 2^{16}}}{\frac{1}{12^5}} = \frac{1}{9 \times 2^{16}} \times 12^5$$ 5. عدد 12 را به صورت حاصل‌ضرب عوامل اول تجزیه می‌کنیم: $$12 = 3 \times 2^2$$ پس: $$12^5 = (3 \times 2^2)^5 = 3^5 \times (2^2)^5 = 3^5 \times 2^{10}$$ 6. جایگذاری در کسر: $$\frac{1}{9 \times 2^{16}} \times 3^5 \times 2^{10} = \frac{3^5 \times 2^{10}}{9 \times 2^{16}}$$ 7. ساده‌سازی توان‌ها: $$9 = 3^2$$ پس: $$\frac{3^5 \times 2^{10}}{3^2 \times 2^{16}} = 3^{5-2} \times 2^{10-16} = 3^3 \times 2^{-6}$$ 8. مقدار نهایی: $$3^3 = 27$$ $$2^{-6} = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$$ پس: $$27 \times \frac{1}{64} = \frac{27}{64}$$ **پاسخ نهایی:** $$\frac{27}{64}$$