1. مسئله: مقدار عبارت $$\frac{8^{-1} \times 4^{3}}{2^{-4} \times \left(\frac{1}{8}\right)^{2}}$$ را به صورت عدد توان دار بیابید. 2. فرمول‌ها و قوانین مهم: - قانون توان‌ها: $$a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$$ - قانون تقسیم توان‌ها: $$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$$ - توان یک کسر: $$\left(\frac{a}{b}\right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$$ 3. ابتدا پایه‌ها را به صورت توان‌های عدد 2 بازنویسی می‌کنیم: - $$8 = 2^{3}$$ پس $$8^{-1} = (2^{3})^{-1} = 2^{-3}$$ - $$4 = 2^{2}$$ پس $$4^{3} = (2^{2})^{3} = 2^{6}$$ - $$2^{-4}$$ همان است. - $$\left(\frac{1}{8}\right)^{2} = \left(8^{-1}\right)^{2} = 8^{-2} = (2^{3})^{-2} = 2^{-6}$$ 4. جایگذاری در صورت و مخرج: - صورت: $$8^{-1} \times 4^{3} = 2^{-3} \times 2^{6} = 2^{-3+6} = 2^{3}$$ - مخرج: $$2^{-4} \times 2^{-6} = 2^{-4-6} = 2^{-10}$$ 5. تقسیم صورت بر مخرج: $$\frac{2^{3}}{2^{-10}} = 2^{3 - (-10)} = 2^{3+10} = 2^{13}$$ پاسخ نهایی به صورت عدد توان دار برابر است با $$2^{13}$$.