1. مسئله: مقدار عبارت $$\frac{3^{-2} \times 2^{-16}}{12^{-5}}$$ را به صورت عدد توان دار بیابید. 2. فرمول‌ها و قوانین مهم: - قانون توان‌ها: $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$ - ضرب توان‌ها با پایه‌های مختلف: ابتدا پایه‌ها را جداگانه محاسبه می‌کنیم. - تقسیم توان‌ها با پایه‌های مختلف: می‌توانیم مخرج را به صورت توان مثبت به صورت ضرب در صورت تبدیل کنیم. 3. ابتدا صورت کسر را بررسی می‌کنیم: $$3^{-2} \times 2^{-16} = \frac{1}{3^2} \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{1}{3^2 \times 2^{16}}$$ 4. مخرج کسر: $$12^{-5} = \frac{1}{12^5}$$ 5. کل عبارت: $$\frac{3^{-2} \times 2^{-16}}{12^{-5}} = \frac{\frac{1}{3^2 \times 2^{16}}}{\frac{1}{12^5}} = \frac{1}{3^2 \times 2^{16}} \times 12^5$$ 6. حالا پایه‌ها را به صورت توان‌های مشابه بازنویسی می‌کنیم: $$12 = 3 \times 2^2$$ پس: $$12^5 = (3 \times 2^2)^5 = 3^5 \times (2^2)^5 = 3^5 \times 2^{10}$$ 7. جایگذاری در عبارت: $$\frac{1}{3^2 \times 2^{16}} \times 3^5 \times 2^{10} = 3^{5-2} \times 2^{10-16} = 3^3 \times 2^{-6}$$ 8. پاسخ نهایی به صورت عدد توان دار: $$3^3 \times 2^{-6}$$