1. مسئله: محاسبه مقدار عبارت $$\left(\frac{25}{100}\right)^{-7} \times 8^{5}$$. 2. فرمول‌ها و قوانین مهم: - قانون توان منفی: $$a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$$. - قانون ضرب توان‌ها با پایه‌های مختلف: ابتدا هر پایه را ساده می‌کنیم. 3. ساده‌سازی پایه‌ها: - $$\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$$ چون $$25 = 5^2$$ و $$100 = 10^2$$. - پس عبارت به شکل $$\left(\frac{1}{4}\right)^{-7} \times 8^{5}$$ تبدیل می‌شود. 4. استفاده از قانون توان منفی: $$\left(\frac{1}{4}\right)^{-7} = 4^{7}$$. 5. حال عبارت به شکل $$4^{7} \times 8^{5}$$ است. 6. بازنویسی پایه‌ها به صورت توان‌های عدد 2: - $$4 = 2^{2}$$ پس $$4^{7} = (2^{2})^{7} = 2^{14}$$. - $$8 = 2^{3}$$ پس $$8^{5} = (2^{3})^{5} = 2^{15}$$. 7. ضرب توان‌ها با پایه یکسان: $$2^{14} \times 2^{15} = 2^{14+15} = 2^{29}$$. 8. نتیجه نهایی: $$\boxed{2^{29}}$$ که برابر است با $$536870912$$.