1. Simplifica cada expresión aplicando las propiedades de potencias. ### a. $$\frac{(-4)^8}{(-4)^3}$$ - Restamos exponentes porque la base es la misma: $$(-4)^{8-3} = (-4)^5$$. ### b. $$\frac{[(-5)^4]^3}{(-5)^2 \cdot (-5)^6}$$ - Simplificamos el numerador usando la potencia de una potencia: $$(-5)^{4 \cdot 3} = (-5)^{12}$$. - Simplificamos el denominador multiplicando bases iguales: $$(-5)^{2+6} = (-5)^8$$. - Restamos exponentes: $$(-5)^{12-8} = (-5)^4$$. ### c. $$\frac{[(-2)^3]^4 \cdot (2^2)^3 \cdot [(-3)^4]^3}{2^5 \cdot (-2)^5 \cdot (-3)^{12}}$$ - Numerador: - $$[(-2)^3]^4 = (-2)^{3 \cdot 4} = (-2)^{12}$$. - $$(2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$$. - $$[(-3)^4]^3 = (-3)^{4 \cdot 3} = (-3)^{12}$$. - Denominador ya está con potencias. - Reescribimos la expresión: $$\frac{(-2)^{12} \cdot 2^6 \cdot (-3)^{12}}{2^5 \cdot (-2)^5 \cdot (-3)^{12}}$$. - Simplificamos cada base: - $$\frac{(-2)^{12}}{(-2)^5} = (-2)^{12-5} = (-2)^7$$. - $$\frac{2^6}{2^5} = 2^{6-5} = 2^1 = 2$$. - $$\frac{(-3)^{12}}{(-3)^{12}} = (-3)^0 = 1$$. - Resultado final: $$(-2)^7 \cdot 2 = -2^7 \cdot 2 = -2^{7+1} = -2^8 = -256$$. ### d. $$\frac{(-5)^3 \cdot 4^6 \cdot (-5)^2}{4 \cdot (-5)^4}$$ - Simplicamos las potencias de (-5): $$(-5)^{3+2} = (-5)^5$$ en el numerador. - Denominador: $$4^1 \cdot (-5)^4$$. - Simplificamos: $$\frac{(-5)^5 \cdot 4^6}{4^1 \cdot (-5)^4} = (-5)^{5-4} \cdot 4^{6-1} = (-5)^1 \cdot 4^5 = -5 \cdot 1024 = -5120$$. ### e. $$\frac{(5^3)^2 \cdot 5^4 \cdot (5^4)^6}{5^7 \cdot (5^2)^5}$$ - Simplificamos potencias: - $$(5^3)^2 = 5^{3 \cdot 2} = 5^6$$ - $$(5^4)^6 = 5^{4 \cdot 6} = 5^{24}$$ - $$(5^2)^5 = 5^{2 \cdot 5} = 5^{10}$$ - Numerador: $$5^{6+4+24} = 5^{34}$$ - Denominador: $$5^{7+10} = 5^{17}$$ - Resultado: $$5^{34-17} = 5^{17}$$. ### f. $$\frac{(-5)^6 \cdot 3^4 \cdot (-5) \cdot 3^5}{3^3 \cdot (-5)^3 \cdot (-5)^2}$$ - Agrupamos bases: - Numerador $$(-5)^{6+1} = (-5)^7$$ y $$3^{4+5} = 3^9$$ - Denominador $$(-5)^{3+2} = (-5)^5$$ y $$3^3$$ - Simplificamos: $$\frac{(-5)^7 \cdot 3^9}{(-5)^5 \cdot 3^3} = (-5)^{7-5} \cdot 3^{9-3} = (-5)^2 \cdot 3^6 = 25 \cdot 729 = 18225$$. **Respuestas finales:** - a) $$(-4)^5 = -1024$$ - b) $$(-5)^4 = 625$$ - c) $$-256$$ - d) $$-5120$$ - e) $$5^{17}$$ - f) $$18225$$