1. Problemstellung: Wir haben einen Planeten mit einer Anfangsbevölkerung von 50.000 im Jahr 2016, die jährlich um 2 % abnimmt. 2. Formel: Die Bevölkerungszahl nach $t$ Jahren ist gegeben durch $$P(t) = P_0 \times (1 - r)^t$$ wobei $P_0$ die Anfangsbevölkerung, $r=0{,}02$ die jährliche Abnahmerate und $t$ die Anzahl der Jahre seit 2016 ist. 3. a) Bevölkerung im Jahr 2040: - $t = 2040 - 2016 = 24$ - $$P(24) = 50000 \times (1 - 0{,}02)^{24} = 50000 \times 0{,}98^{24}$$ - Berechnung: $0{,}98^{24} \approx 0{,}6065$ - $$P(24) \approx 50000 \times 0{,}6065 = 30325$$ 4. b) Halbierung der Bevölkerung: - Gesucht: $t$ mit $$P(t) = \frac{P_0}{2} = 25000$$ - Gleichung: $$50000 \times 0{,}98^t = 25000$$ - Dividieren: $$0{,}98^t = 0{,}5$$ - Logarithmus anwenden: $$t = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}98)}$$ - Berechnung: $$t \approx \frac{-0{,}6931}{-0{,}0202} = 34{,}3$$ Jahre - Die Halbierung erfolgt ca. 34 Jahre nach 2016, also im Jahr $2016 + 34 = 2050$. 5. c) Bevölkerung im Jahr 2000: - $t = 2000 - 2016 = -16$ (16 Jahre vor 2016) - $$P(-16) = 50000 \times 0{,}98^{-16} = 50000 \times \frac{1}{0{,}98^{16}}$$ - Berechnung: $0{,}98^{16} \approx 0{,}724$ - $$P(-16) \approx 50000 \times \frac{1}{0{,}724} = 50000 \times 1{,}381 = 69050$$ 6. d) Bevölkerung auf 1 % der Bevölkerung von 2020: - Bevölkerung 2020: $t=4$, $$P(4) = 50000 \times 0{,}98^4 \approx 50000 \times 0{,}922 = 46100$$ - Gesucht: $t$ mit $$P(t) = 0{,}01 \times 46100 = 461$$ - Gleichung: $$50000 \times 0{,}98^t = 461$$ - Dividieren: $$0{,}98^t = \frac{461}{50000} = 0{,}00922$$ - Logarithmus: $$t = \frac{\ln(0{,}00922)}{\ln(0{,}98)} \approx \frac{-4{,}685}{-0{,}0202} = 232{,}0$$ - Jahr: $2016 + 232 = 2248$ Antworten: a) ca. 30.325 Bewohner im Jahr 2040 b) Halbierung ca. im Jahr 2050 c) ca. 69.050 Bewohner im Jahr 2000 d) Bevölkerung auf 1 % der von 2020 im Jahr 2248