1. **Énoncé du problème** : Nous avons plusieurs exercices concernant des endomorphismes sur \( \mathbb{R}^4 \) et \( \mathbb{C}^4 \), avec des conditions spécifiques sur \( f \) et leurs conséquences algébriques. --- ### Exercice 1 1) Montrer que \( \ker(f) = \operatorname{Im}(f + I_d) \) et \( \operatorname{Im}(f) = \ker(f + I_d) \). **Solution :** - Par hypothèse, \( f^2 = -f \), donc $$ f^2 + f = 0 \Rightarrow f(f + I_d) = 0 $$ Cela implique que \( \operatorname{Im}(f + I_d) \subseteq \ker(f) \). - Inversement, si \( x \in \ker(f) \), alors \( f(x) = 0 \), donc $$ (f + I_d)(x) = x \Rightarrow x \in \operatorname{Im}(f + I_d) $$ Ainsi, \( \ker(f) \subseteq \operatorname{Im}(f + I_d) \). - Donc \( \ker(f) = \operatorname{Im}(f + I_d) \). - De même, on a $$ (f + I_d) f = f^2 + f = 0 \Rightarrow \operatorname{Im}(f) \subseteq \ker(f + I_d) $$ - Inversement, si \( y \in \ker(f + I_d) \), alors $$ f(y) = -y \Rightarrow y = -(f(y)) \in \operatorname{Im}(f) $$ - Donc \( \operatorname{Im}(f) = \ker(f + I_d) \). 2) Montrer que \( \mathbb{R}^4 = \ker(f) \oplus \operatorname{Im}(f) \). - On utilise que \( \ker(f) = \operatorname{Im}(f + I_d) \) et \( \operatorname{Im}(f) = \ker(f + I_d) \). - La somme est directe car $$ \ker(f) \cap \operatorname{Im}(f) = \{0\} $$ - Par dimension, $$ \dim(\ker(f)) + \dim(\operatorname{Im}(f)) = 4 $$ - Par conséquent, \( \mathbb{R}^4 = \ker(f) \oplus \operatorname{Im}(f) \). - Si \( \ker(f) = \{0\} \), alors \( f \) est injectif. - Comme \( f^2 = -f \), l'injectivité implique que \( -f = f^2 \) est aussi injective, donc \( f \) est inversible et \( f = -I_d \). 3) Soit \( g \) endomorphisme qui commute avec \( f \), \( g f = f g \). - Montrons que \( \ker(f) \) est invariant par \( g \) : si \( x \in \ker(f) \), alors \( f(x) = 0 \), $$ f(g(x)) = g(f(x)) = g(0) = 0 \Rightarrow g(x) \in \ker(f) $$ - De la même manière, pour \( y \in \operatorname{Im}(f) \), il existe \( z \) tel que \( y = f(z) \), $$ g(y) = g(f(z)) = f(g(z)) \in \operatorname{Im}(f) $$ - Donc \( \ker(f) \) et \( \operatorname{Im}(f) \) sont invariants par \( g \). 4) Bases : \( \{u_1\} \) base de \( \ker(f) \) et \( \{u_2,u_3,u_4\} \) base de \( \operatorname{Im}(f) \). - La matrice \( [f]_\mathcal{B} \) dans la base \( \mathcal{B} = \{u_1,u_2,u_3,u_4\} \) est $$ \begin{pmatrix} 0 & 0 \, 0 \, 0 \\ 0 & & & \\ 0 & & A & \\ 0 & & & \end{pmatrix} $$ - Comme \( f(u_1) = 0 \) et \( f \) agit sur \( \operatorname{Im}(f) \) de façon donnée par une matrice \( A \). --- ### Exercice 2 1) Montrons que la famille \( \{ x, f(x), f^2(x) \} \) est libre. - Supposons une combinaison nulle: $$ \alpha x + \beta f(x) + \gamma f^2(x) = 0 $$ - Appliquer \( f^2 \) : $$ \alpha f^2(x) = 0, \quad \text{car } f^3=0 $$ - Puisque \( f^2(x) \neq 0 \), alors \( \alpha=0 \). - Appliquer \( f \): $$ \beta f^2(x) = 0 \Rightarrow \beta =0 $$ - Il reste \( \gamma=0 \) donc la famille est libre. - En déduire que $$ 1 \leq \dim \ker(f) \leq 2 $$ 2) Supposons \( y \neq 0 \) dans \( G \), montrer \( \{x,f(x),f^2(x),y,f(y),f^2(y)\} \) est libre. - Par hypothèse, chaque élément est non vicié dans l'espace. - Or \( \dim(\mathbb{R}^4)=4 \), on ne peut avoir six éléments libres, contradiction. - Donc \( G = \{0\} \). 3) Montrer que $$ \ker(f^2) = \ker(f) \oplus \operatorname{Vect} \{ f(x) \} $$ - \( f^2(f(x)) = f^3(x) = 0 \), donc \( f(x) \in \ker(f^2) \). - Pour l'intersection et la somme directe, on vérifie que \( f(x) \notin \ker(f) \). - Ainsi, $$ \dim(\ker(f)) = 2 $$ 4) Base \( \mathcal{B} = \{ x,f(x),f^2(x),z \} \) avec \( \{ f^2(x), z \} \) base de \( \ker(f) \). - La matrice de \( f \) s'écrit $$ [f]_\mathcal{B} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & a \\ 1 & 0 & 0 & b \\ 0 & 1 & 0 & c \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ - Où \( a,b,c \in \mathbb{R} \). 5) Montrer que pour \( \alpha \neq 0 \), \( f + \alpha I_d \) est bijectif. - En effet, noyau trivial, car sinon $$ (f + \alpha I_d)(v) = 0 \Rightarrow f(v) = -\alpha v $$ - Ce qui contredirait que \( f^3=0 \) car \( -\alpha \) serait valeur propre non nulle. - Calcul de l'inverse: $$ (f + \alpha I_d)^{-1} = \sum_{k=0}^2 (-1)^k \frac{f^k}{\alpha^{k+1}} $$ - Puisque \( f^3 = 0 \), la série s'arrête au terme 2. --- ### Exercice 3 1) \( H \subseteq \ker(f - I_d) \), \( \operatorname{Im}(f - I_d) \subseteq H \). - Montrer que \( (f - I_d)^2 = 0 \). \( \operatorname{Im}(f - I_d) \subseteq H \subseteq \ker(f - I_d) \) implique $$ (f - I_d)^2 = 0 $$ - La dimension de \( \operatorname{Im}(f - I_d) \) est 1 car $$ \dim(\mathbb{C}^4) = 4, \quad H = \ker(f - I_d), \quad \dim(H) = 3 $$ - \( f(u) \neq u \) car sinon \( u \in H \) contradiction à la décomposition directe. 2) Montrer que \( f \) est bijectif. - \( (f - I_d)^2 = 0 \) implique que \( f - I_d \) est nilpotent. - Ainsi, \( f = I_d + N \), avec \( N \) nilpotent, donc \( f \) inversible. - L'inverse vérifie aussi (*). 3) Existence de base où la matrice est $$ M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ - Ceci correspond à la matrice de \( f \) dans la base adaptée où - \( f \) agit comme \( I_d \) sur \( H \) - Et l'action sur \( u \) est donnée par la colonne additionnelle. --- **Résumé :** Les exercices montrent des propriétés importantes des endomorphismes nilpotents ou satisfaisant une relation polynomiale particulière, ainsi que l'impact sur les décompositions vectorielles et formes matricielles. ---